Démonstration du lemme transformation de Dirichlet

[Clara]

Bonjour à tous,

je travaille sur la preuve d'un lemme, celui de la transformation de Dirichlet (notre but ensutie est de démontrer le théorème de Dirichlet).
Voici le lemme en question ;


Soit \(fn(x)= \frac{a0}{2} +\sum_{p=1}^{n}\ apCos(px) + bpSin(px)\)

\(fn(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{sin((n+1/2)u)}{2sin(u/2)} [f(x+u) + f(x-u) ] du\) u différent de 0 modulo 2pi

Voilà pour ce qui est de la démo :

\(fn(x) = \frac{1}{2} ( \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) dt ) + \sum_{p=1}^{n}\ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t)Cos(pt) dt Cos(px) + \sum_{p=1}^{n}\ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t)sin(pt) dt sin(px)\)

Jusque ici tout va bien, c'est pour ce que je vais écrire que je ne comprends pas.

On écrit que la seconde partie de fn(x) donc :
\(\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) [ Cos(pt)Cos(px) + sin(pt)sin(px) ] = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t)Cos(pt-px) dt\) 

Je ne comprends pas qu'on passe de \(2\pi\) à \(\pi\)
et la ligne d'après on écrit :

\(fn(x) = \frac{1}{\pi} \int_{x- \pi}^{x + \pi} (\frac{1}{2} + \sum_{p=1}^{n}\ cos(p(t-x)) f(t) dt\)

Ici même prblème je ne comprends l'intervalle choisir pour l'intégrale ....
Merci d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Clara,

Je suis désolé mais sur ce forum, on ne répond pas aux questions post-bac.

SoSMath.