Polynôme

[Sophie]

Bonsoir, pourriez-vous m'aider?
J'ai un exercice !j'ai répondu aux questions précédentes mais je bloque pour celle-là !car nous n'avons pas vu ce qu'était un polynôme!

Déterminer l'expression du polynôme P vérifiant l'égalité:
39x(au carré)-2x(au cube)-972=(x-18)(x-6)xP
Est-ce qu'il faut résoudre P comme si c'était x?une valeur ?
Svp

[sos-math(21)]

Bonjour,
Un polynôme est une combinaison de puissances de \(x\) : \(3x+1\,\,\,\), \(\,\,\,x^2+2x-7\,\,\,\), \(\,\,\,x^3+1\,\,\,\), \(\,\,\,x^6+2x^4-5x^2+1\) sont des exemples de polynômes.
Pour ton exercice, commence par chercher le degré de ton polynôme, c'est à dire la plus grande puissance de \(x\) :
le polynôme de gauche est de degré 3. De l'autre côté, tu as un produit de deux facteurs de degré 1, donc le polynôme P est de degré ...
Bon courage

[Sophie]

Alors le polynôme P est de degré 3 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Non, lorsque tu multiplies des polynômes entre eux, leurs degrés s'ajoutent : \(x^2\times x^3=x^5\), cela provient de la règle sur les puissances \(a^m\times a^n=a^{m+n}\).
À gauche, tu as un polynôme de degré 3 et à droite, tu as trois polynômes dont deux de degré connu 1, il reste pour le polynôme P ....
Cela te permettra ensuite de trouver la forme du polynôme P et le détermine par "identification".
Bon calcul

[Sophie]

Donc le polynôme inconnu est de degre 1 ?

[sos-math(27)]

bonjour Sophie,
Exactement ! P est de dégré 1 , tu peux l'écrire comme a*x+b et ainsi continuer à écrire des calculs.
A bientôt

[Sophie]

Si je réponds cela ça ne va pas?
P=(39x au carré -2x au cube -972)/(x-18)(x-6)
Merci

[sos-math(27)]

Non, car l'expression que tu proposes n'est pas celle d'un polynome de degré 1 :
P(x)= a*x +b.

Tu peux développer : \((x-18)(x-6)x(a x+b)\)

et identifier les coefficients : \(39 x^2-2 x ^3-972\)

[Sophie]

Merci!
P=(x-18)(x-6)x au carré (39-2x)-972
Ça ne va pas non plus car c'est de degré 2 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Il te faut un polynôme de degré 1 pour que la somme des degrés des trois polynômes soit égale à 3 : 3=1+1+1.
La forme générale d'un polynôme de degré 1 est \(P(x)ax+b\),
il te reste ensuite à développer \((x-18)(x-6)(ax+b)\) et à identifier avec ton polynôme de départ.
Bon calcul

[Sophie]

Merci beaucoup alors j'ai développé et j'obtiens ceci :
ax(au carré pour le x)-24x+b(x-18)=38x au carré -2x au cube -924
Et ensuite comment continuer?
Merci de votre aide!

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je ne sais pas comment tu développes, mais à ta place, je développerais d'abord : \((x-18)(x-6)=x^2-24x+108\) puis je développerais \((x^2-24x+108)(ax+b)\)
Bon courage

[Sophie]

D'accord merci!
Donc, ax (le x est au cube)+bx(le x est au carré)-24ax(le x est au carré)-24xb+108ax+108b
Peut-être que P=2x+39 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
non, ce n'est pas cela : le produit des termes constants doit être égal à -972 donc \((-18)\times (-6)\times ???=-972\).
Je te laisse terminer

[Sophie]

Merci!
Donc ???=-9
Ce qui revient à P= ax-9
Comment continuer svp?