Problème ouvert vecteur

[Juliette]

Bonjour , j'ai un exercice et j'aurais besoin de votre aide svp . Merci d'avance .
Ex 37 : Problème ouvert
Soit ABC un triangle, P, Q et R les points définis par ⃗BP = 1 ⃗BC ,
⃗CQ=1⃗CA et⃗AR=1⃗AB. 33
Les droites (BQ) et (RC) se coupent en I. Soit J le milieu du segment [BI].
1 ) Montrer que les points A, J et P sont alignés.

2 ) On appelle K le point d'intersection des droites (AP) et (CR) . Montrer que le point I est milieu du segment [KC] et K le milieu de [AJ].
3 ) Montrer que l'aire du triangle IJK est égale au septième de l'aire du triangle ABC.

Pour la question 1- je peux utiliser la colinearité en montrant que AJ et Ap sont colinéaire donc les points sont alignés .
Pour la 2 je ne comprend pas y'a t'il une autre méthode pour démontrer qu'un point est un mileu d'un segment a part les coordonné ? Car je n'arrive pas à utiliser les coordonnée .
Pour la 3- j'ai fais la figure pour m'aider mais je ne voit pas comment faire .

[sos-math(27)]

Bonjour Juliette
Pour le 1) : c'est la bonne méthode.
Pour le 2) : il a a d'autre méthode que les coordonnées pour montrer qu'un point est le milieu d'un segment.
si la figure comporte des parallélogrammes (c'est le cas ici me semble-t-il) tu peux montrer qu'un point est l'intersection des diagonales.
tu peux utiliser aussi les vecteurs : C sera le milieu de [AB] si \(\vec{AC}=0.5*\vec{AB}\) par exemple.
Pour le 3) : en fait je ne comprend pas trop ton énoncé pour la position des points P, Q, R donc n'arrive pas à faire la figure moi même.

Pourras tu me redire cette partie plus clairement pour que je te vienne en aide ?

Soit ABC un triangle, P, Q et R les points définis par ⃗BP = 1 ⃗BC ,
⃗CQ=1⃗CA et⃗AR=1⃗AB. 33

A plus tard

[Juliette]

Merci beaucoup je vais essayer de faire sa avec vos expliquations . Oui excuser moi c'est un oublie c'est : BP= 1/3 BC
CQ = 1/3 CA et AR = 1/3 AB

Bonjour Juliette


Pourras tu me redire cette partie plus clairement pour que je te vienne en aide ?

Soit ABC un triangle, P, Q et R les points définis par ⃗BP = 1 ⃗BC ,
⃗CQ=1⃗CA et⃗AR=1⃗AB. 33

A plus tard

[Juliette]

Ici pour la deuxième méthode donc avec le parallélogramme je ne comprend pas , pour montrer que K est le milieu de KC , si il est le [quote="sos-math(27)"]Bonjour Juliette

si la figure comporte des parallélogrammes (c'est le cas ici me semble-t-il) tu peux montrer qu'un point est l'intersection des diagonales.
tu peux utiliser aussi les vecteurs : C sera le milieu de [AB] si \(\vec{AC}=0.5*\vec{AB}\) par exemple.

[Juliette]

Ici pour la deuxième méthode donc avec le parallélogramme je ne comprend pas , pour montrer que K est le milieu de KC , si il est le point d'intersection des diagonales comment peut il être le milieu du segment Kc désolé mais je ne comprend pas cette méthode ..

Bonjour Juliette

si la figure comporte des parallélogrammes (c'est le cas ici me semble-t-il) tu peux montrer qu'un point est l'intersection des diagonales.
tu peux utiliser aussi les vecteurs : C sera le milieu de [AB] si \(\vec{AC}=0.5*\vec{AB}\) par exemple.

[sos-math(27)]

Bon, ok, j'ai pu faire la figure, et il n'est pas question de parallèlogramme ici !

Par contre on connait beaucoup de relation avec les vecteurs formés par les points de la figure, je pense que l'on peut donc arriver à établir la relation que je te donnais, ou encore celle ci :
Si C est le milieu de [AB] alors\(\vec{CA}=\vec{CB}\)

On peut aussi utiliser la propriété des milieux des côtés dans un triangle
Pour t'aider, tu peux aussi introduire les points P', Q', et R' tels que : BP' = 2/3 BC ; CQ'= 2/3 CQ et AR'= 2/3 AB...

C'est un exercice ouvert, donc toutes les méthodes sont possibles, et en l’occurrence, je pense qu'il y en a plusieurs...

bon courage...

[Juliette]

Merci beaucoup je vais essayer de le faire avec vos méthodes ,