Problème du 1er degré et géométrie

[Vincent]

Bonjour,

Merci de m'aider pour cet exercice :

Un triangle ABC est rectangle en A.

Le segment [AB] mesure 3 cm, le segment [AC] mesure 4 cm.

Soit M un point de [AB] ([AB] coté adjacent à l'angle ABC ) : on pose AM = x.

On construit un rectangle MNPQ inscrit dans le triangle ABC :

- N est un point de [AC] ([AC] coté opposé à l'angle ABC)



les points C, P, Q, B sont alignés dans cet ordre et appartiennent au segment [BC] (l'hypoténuse du triangle ABC)

Déterminez x pour que le rectangle MNPQ soit un carré.


J'ai pensé à utiliser le théorème de Thalès puis le théorème de Pythagore pour exprimer chaque segment en fonction de x, mais cela semble insuffisant.


Voici ce que j'ai fait :

le triangle étant rectangle en A on a d'après Pythagore :

AB² + AC² =BC²

3² + 4² = BC² soit BC² = 9 + 16 = 25

donc le segment [BC] mesure 5 cm.


comme M appartient a au segment [AB] on a :

AM + BM = AB (AM=x et AB = 3)

x + MB = 3

MB = (3 - x)

puisque P et Q sont des points appartenant au segment [BC]

et MNPQ est un rectangle on a :

[MN] est parallèle à [PQ] et [MN] est parallèle à [BC].

comme N appartient au segment [AC] et M au segment [AB]

on peut utiliser le théorème de Thalès dans le triangle ABC :

AM / AB = AN / AC

soit x / 3 = AN / 4

donc 4x / 3 = AN.

puisque N appartient au segment [AC] on a :

AN + CN = AC (AN= 4x/3 et AC = 4)

4x/3 + CN = 4

CN = 4 - 4x / 3 = 12 / 3 - 4x/3 = 4/3 (3 - x) = 4/3 x BM

exprimons MN en fonction de x :

pour cela on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle AMN rectangle en A :

AM² + AN² = MN²

donc x² + (4x/3)² = MN² = x² + 16x²/9 = 9x²/9 + 16x²/9 = 25x²/9

donc MN = 5x / 3

puisque MNPQ est un carré MN = NP = PQ = MQ = 5/3x


le triangle BMQ est rectangle en Q donc :

MQ² + BQ² = BM² => BQ² = BM² - MQ² => BQ² = (3-x)² - (5x/3)²

le triangle CNP est rectangle en P donc :

NP² + CP² = CN²

(5x/3)² + CP² = [4/3(3-x)]²

CP² = 16/9(3-x)² - (5x/3)²

(3-x)(3-x) = 9 -3x -3x +x² = x ²-6x+ 9 =(x-3)²

(x-3)(x-3) = x² -3x -3x + 9



CP² = 16/9(x² -6x +9) - 25x²/9

CP² = 1/9(16x² - 96x + 144) - 1/9(25x²) = 1/9 (-9x² - 96x+ 144) =1/3(-3x² - 32x + 48)

CP = ?

je remarque également que :

CP² - BQ² = [16/9(x-3)² - (5x/3)²] - [(x-3)² - (5x/3)² ] = 16/9(x-3)² - (5x/3)² - (x-3)² + (5x/3 )² = 16/9(x-3)² - (x-3)² = (x-3)² (16/9 -1) = (x-3)² x 7/9

CP² - BQ² = (CP + BQ) (CP - BQ)

comme les points C , P, Q et B sont alignés et appartiennent au segment [BC] on a :

CP + PQ + BQ = 5

PQ = 5/3x

CP + 5/3x + BQ = 5

CP + BQ = 5 - 5/3x

et CP - BQ = CP + BQ - 2BQ

on en déduit que :

(5 - 5x/3)( 5 - 5x/3 - 2BQ) = (x-3)² x 7/9

développons :

25 - 25x/3 -10BQ -25x/3 +25x²/9 +10BQx/3 =(x²-6x+9)7/9

225 - 75x - 90BQ -75x + 25x² + 30BQx = 7(x²-6x+9)

225 - 75x - 90BQ -75x + 25x² + 30BQx = 7x² - 42x + 63

225 -150x +25x² + BQ(30x -90) = 7x² - 42x + 63

BQ(30x -90) = -18x² +108x - 162

BQ(10x -30) = -6x² +36x - 54

BQ = (-6x² +36x -54) / (10x-30)

BQ = -6(x² -6x +9) / 10(x-3)

BQ = -6(x-3)² /10 (x-3)

BQ = -6/10 (x-3) = -3/5(x-3) = 3/5(3-x) = 9/5 -3x/5

faisons la même chose avec CP :

QB² = (3-x)² - (5x/3)²

CP² = (4/3(3-x)² -(5x/3)²

QB² -CP² = (QB +CP) ( QB+CP -2CP) = (3-x)² - 4/3(3-x)² = (3-x)² (1-4/3) = (x-3)(3-x)/3

(5-5x/3)(5-5x/3-2CP) = (3x-x²-9+3x)/3 = (-x² +6x-9)/3


25 -25x/3 -10CP -25x/3 +25x²/9 +10xCP/3 = (-x² +6x - 9) /3

75 -25x -30CP -25x +25x²/3 +10xCP = -x²+6x -9

225 -75x -90CP -75x +25x² + 30xCP = -3x² +18x -27

25x² -150x +225 + CP(30x-90) = -3x²+18x -27

CP(30x-90) = -28x² +168x -252 =7(-4x²+24x -36) = 28(-x²+6x-9) =-28(x²-6x+9) =-28(x-3)²

30CP(x-3) = -28(x-3)²

CP(x-3) = -28/30(x-3)²

CP = -28/30(x-3) =-14/15(x-3) (CP est négatif impossible)

-14/15(x-3) + 9/5 -3x/5 +5x/3 = 5

-14x/15 +42/15 +27/15 -9x/15 +25x/15 =75/15

-14x + 42+ 27 -9x + 25x = 75

2x = 75 - 69 = 6 x=3 ?


exprimons également CP en fonction de x on a :


CP + 5x/3 + 3/5(3-x) = 5

CP + 5x/3 + 9/5 -3x/5 = 5

CP + 25x/15 -9x/15 + 9/5 = 5

CP + 16x/15 = 5 - 9/5

CP + 16/15x = 25/5 - 9/5 = 16/5

CP = 16/5 -16x/15 = 48/15 - 16x/15

CP = (48 -16x) /15 =



PQ + BQ = PB = 5x/3 + 9/5 -3x/5 = 25x/15 +9/5 -9x/15 = 16x/15 + 9/5


PM² = MN² + NP² = (5x/3)²+ (5x/3)² =25x²/9 +25x²/9 = 50x²/9 donc PM = racine (50)x / 3

si le triangle BMP est rectangle en M on aurait :

MB² + PM² = PB²

or MB² + PM² =(3-x)² + 50x² / 9 = x² - 6x+ 9 + 50x² / 9 = (9x² -54x +81 +50x²)/9 = 59x²-54x +81

et PB² =(16x/15 +9/5)² = 256x² /225 + 81/25 + 18/5 x 16x/15 = 256x² / 225 + 729/225 + 288x /75 = (256x² + 864x +729) / 225

manifestement on constate que 59x²-54x+81 diffère de (256x² + 864x +729) /225 donc le triangle BMP n'est pas recatngle en M.

Malheureusement, le résultat trouvé pour BQ² ( BQ² = 81/25 + 9x²/25 -54x/25) n'est certainement pas bon puisque :

d'après le théorème de Pythagore , si le triangle BMQ est rectangle en Q on a :

BQ² + MQ² = BM²

soit BQ² + (5x/3)² = (3-x)²

donc BQ² = (3-x)² - (5x/3)² = (x²-6x+9) - ( 25x²/9) = (9x² -54x +81 - 25x²) /9 = (-16x² -54x+81) / 9


En revanche si j'utilise le théorème de thalès dans le triangle ABC avec MN // BC :

on a :

AM / AB = MN / BC

soit x / 3 = 5x/3 / BC

or BC = CP + PQ + BQ

soit BC= (48-16x) /15 + 5x/3 + 9/5 -3x/5 on a donc :



5/3x / [(48-16x)/15 + 9/5 -3x/5 +5x/3]

5x/3 / ( 48-16x + 27 -9x + 25x) / 15

25x / 75 est bien égal à x/3 ......

peut -être est-il inutile d'exprimer la valeur de chaque segment en fonction de x.

[sos-math(22)]

Bonsoir Vincent,
Je n'ai pas lu entièrement tous tes calculs. Il me semble qu'ils sont inutilement longs et que tu te perds un peu à la fin. Au début, en revanche, tu es bien parti, en ayant exprimé MN en fonction et trouvé MN=(5/3)*x.
Ensuite, considère la hauteur h issue de A.
Comme ABC est rectangle en A, tu peux calculer son aire de deux manières et en déduire l'expression de h en fonction de x.
Puis, avec Thalès, tu pourras facilement exprimer MQ en fonction de x.
Il n'y aura plus qu'à résoudre l'équation MN=MQ.
Bon courage.

[Vincent]

Bonjour,

Merci pour votre aide, je n'ai pas pensé à utiliser la hauteur du triangle ABC.

Soit AH la hauteur et H un point sur le segment [BC]

aire du triangle ABC = (AB X AC) / 2

aire du triangle ABC = (aire du triangle ABH) + aire du triangle (ACH)

aire du triangle ABH = (BH X AH) / 2

aire du triangle ACH = (CH X AH) / 2

donc aire triangle ABC = (BH X AH) / 2 + (CH X AH) / 2 = AH(BH+CH) / 2

or BH + CH = BC = 5

donc aire triangle ABC = (5AH) / 2

(5AH) / 2 = (AB X AC) / 2

5AH = AB X AC

5AH = 3 x 4

5AH = 12

AH =12/5

en utilisant le théorème de Thalès dans le triangle ABH rectangle en H (puisque la hauteur AH coupe [BC] en H et forme un angle droit.) on a :


BM / AB = MQ / AH

(3-x) / 3 = (5/3)x / 12/5


(3-x) = 5x / (12 / 5)

12/5(3-x) = 5x

36/5 - 12/5x = 5x

36/5 = 5x + 12x/5 = x(5+12/5) = x(25/5+12/5) = 37x/ 5

36 = 37x

x = 36/37.


est-ce correct ?

[sos-math(22)]

Bonjour Vincent,
Oui, c'est correct.
Juste une remarque : tu peux faire "plus court" et écrire directement :
\(\frac{5h}{2}=\frac{4\times 3}{2}\) donc \(h=\frac{12}{5}\).
A bientôt.