"Optimiser une recette"

[Alice]

Bonjour, j'espère que vous pourrez m'aider sur ce problème de maths assez difficile pour certaines questions malgré réflexion :

Le propriétaire d’un cinéma de 1000 places estime, avec ses calculs, qu’il vend 300 billets à 7 € par séance. Il a constaté qu’à chaque fois qu’il diminue le prix du billet de 0,1 €, il vend 10 billets de plus.

1. Il décide de vendre le billet 6,5 €.
a) Combien y aura-t-il de spectateurs pour une séance ?
b) Quelle est alors la recette pour une séance ?

2. À quel prix devrait-il vendre le billet pour remplir la salle ? Quel est votre commentaire ?

3. Le propriétaire envisage de proposer x réductions de 0,1 €.
a) Quel est alors le prix d’un billet en fonction de x ?
b) Quel est le nombre de spectateurs en fonction de x ?
c) Exprimer en fonction de x la recette, notée r(x) , pour une séance et vérifier que : r(x) = - x² + 40x + 2100

4. a) Dans un repère orthogonal bien choisi, tracer la courbe de la fonction r définie sur l’intervalle [0;70].
b) Conjecturer la valeur x○ de x qui procure la recette maximale.
c) Calculer r(x○).

5. a) Démontrer que pour tout réel x ∈ [0;70], r(x) ≤ 2500 
b) Quel est le prix du billet qui procure la recette maximale ? Quelle est cette recette et quel est le nombre de spectateurs ?

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Alice,

Question 1:
a) Si pour une baisse de 0,1 €, il y a en plus 10 spectateurs, alors pour 0,2€ de baisse il y aura 20 spectateurs en plus ...
Continue ainsi pour trouver le nombre de spectateurs en plus ...
b) La recette est égale au nombre de spectateurs multipliés par le prix d'une place.

Voila pour le début.
SoSMath.

[Alice]

J'ai trouvé ça :

1)
a. (7-6.5/0.1)*10
= (0.5/0.1)*10
= 5*10
= 50

b. 50*6.5 = 325 ?

2) (7-x/0.1)*10 + 300 = 1000
(7-x/0.1)*10 = 1000-300
7-x/0.1 = 700/10
7-x = 70*0.1
7-x = 7
x = 0
Pour que la salle soit remplie, la place doit être gratuite.

3)
a. 7-0.1x

b. ? je ne sais pas

c. ? je ne sais pas


Pourriez-vous m'aider pour la 1)b. , et la 3) b. et c. ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Alice,

1a) ok.
1b) Il y a 50 personnes en plus ... donc il y a 350 personnes (et non 50).

2) ok

3a) ok
b) D'après la règle "il diminue le prix du billet de 0,1 €, il vend 10 billets de plus" ,
on en déduit qu'il y aura 10x spectateurs en plus (car il vend x billet avec une réduction de 0.1)
Donc le nombre total de spectateurs sera : 300 + 10x.
c) recette = le nombre spectateurs multiplié par le prix du billet.

SoSMath.

[Alice]

Pour la 3)c je pense avoir réussi :
(300+10x) * (7-0.1x)
= (300*7)-(300*0.1x) + (7*10x)-(0.1x*10x)
= 2100 - 30x + 70x - x²
= 2100 + 40x - x²
= -x² + 40x + 2100

Ensuite pour la 4)a. : il faut faire un tableau de variation pour pouvoir faire la courbe non ? Si oui, comment ?

La 4) b. et c. = strictement pas compris

Merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Alice,

Pour tracer la courbe d'une fonction, il faut un tableau de valeurs ... et non un tableau de variations !
Tu peux faire ce tableau avec ta calculatrice. Ensuite tu places dans ton repère les points de coordonnées (x ; f(x)).

pour le 4b) tu observes le point le plus haut (ton maximum pour ta fonction) et tu lis son abscisse (xo).
Pour le 4c), tu fais le calcul demandé ....

SoSMath.

[Alice]

Voici pour la question 4)a. est-ce juste :
tableau de valeurs:

[SoS-Math(9)]

Alice,

ton tableau est juste ... reste à tracer la courbe et trouver son maximum.

SoSMath.

[Alice]

Donc pour répondre à la question 3)b. "Conjecturer la valeur x0 de x qui procure la recette maximale", je réponds : Pour x=20, la fonction r est maximale et vaut 2500, soit r(20) = 2500 ?

[SoS-Math(9)]

Oui Alice !

SoSMath.

[Alice]

4)c. -0² + 40*0 + 2100
= 2100

5)a. comment démontrer cela ?

[SoS-Math(9)]

Alice,

Je ne comprends pas ce que tu as fait pour la question 4c) !
tu as trouvé xo = 20, donc r(xo) = r(20) = 2500 ...

5a) tu as trouvé graphiquement le maximum de r(x), donc pour tout x, r(x) ≤ 2500 (le maximum) !!!
Reste à le prouver ... par exemple tu peux montrer que r(x) - 2500 ≤ 0.

5b) Tu vas trouver la valeur exacte de xo, alors avec les expressions de questions 3a et 3b, tu pourras répondre.

SoSMath.

[Alice]

La 4)c. je ne comprends pas

Donc pour la question 5)a. cela fait :
r(x)-2500≤0
-x²+40x+2100-2500≤0
-x²+40x-400≤0
x²-40x+400≤0
(x-20)²≤0 ?

[sos-math(13)]

Bonjour Alice,

la question 4c est en fait très simple et tu l'as déjà résolue :
on te demande seulement de calculer r(x0), c'est à dire r(20) or tu as dis toi-même que r(20) valait 2500. (par Alice le Lun Mar 03, 2014 7:49 pm)

Pour la 5a, ta méthode est bonne, mais tu oublies que si tu multiplies les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, tu changes le sens de comparaison.
Tu arrives donc à (x-20)²≥0, ce qui s'appelle une évidence, puisque (x-20)² est un ...

Bon courage.

[Alice]

(x-20)²≥0 est un ???

Donc à la fin je marque que pour tout réel x appartient (0;70), r(x) est inférieur ou égal à 2500 ?

Et il me manque la 5)b. ?

De plus cela veut dire que je réponds pareil à la 4) b. et c. ?