SOS-MATH

je ne comprend rien a cette exercice , si vous pouvais m'aider a comment on procéde merci.

soit f definie sur R par f(x) = -3 (x - 2)² + 1

1) soit a et b appartient [ 2 ; +infini[, comparer f(a) et f(b) avec 2<a<b

2) soit a et b appartient ]- infini ; 2], comparer f(a) et f(b) avec a<b<2

indication: on procede par étapes en comparant progressivement

. a - 2 et b -2
. (a-2)² et (b- 2)²
.-3 (a-1) et -3 (b-1)²
.-3 (a-1)² + 1 et -3 (b-1)² + 1

3) en deduire le sens de variation de f sur ]- infini ; 2] et [2; + infini[.

4) construire le tableau de variation de f .

5) en quelle valeur f est-elle maximale? donner le maximum de f.

Bonsoir,
Il s'agit d'un travail sur les inégalités :
on veut connaitre le sens de variation d'une fonction, on part donc d'une définition algébrique :
f est croissante sur un intervalle \(I\) si pour tous nombres \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a<b\), alors \(f(a)\leq f(b)\)
de même, f est décroissante sur un intervalle \(I\) si pour tous nombres \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a<b\), alors \(f(a)\geq f(b)\).
Donc sur \([2\,;\,+\infty[\) par exemple ,
tu pars de deux nombres \(a\) et \(b\) de cet intervalle tels que \(a<b\),
alors \(0<a-2<b-2\) : on ne change pas le sens d'une inégalité en enlevant le même nombre de chaque côté ;
les deux nombres a-2 et b-2 sont positifs or la fonction \(x\mapsto x^2\) est croissante sur les réels positifs donc si on élève au carré de chaque côté de l'inégalité, on conserve l'ordre de l'inégalité :
\((a-2)^2\leq (b-2)^2\)
ensuite, on suit les autres étapes proposées en se demandant à chaque fois si l'opération effectuée conserve ou change l'ordre.
Bon courage