La droite d'Euler

[Laurie]

Bonjour, je suis en seconde et j'ai l'exercice 59 page 222 de transmath à faire (qui sera noté ) , or j'ai beaucoup de difficultés à le faire, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Voici l'énoncé ainsi que la figure :

T est le cercle de centre O circonscrit au triangle ABC. [AD] est un diamètre de T. H est le symétrique de D par rapport au milieu A' de [BC].

1. a) Quelle est la nature du quadrilatère BDCH ?

Ma réponse: Dans le quadrilatère BDCH : (BC) et (HD) qui sont les diagonales ont le même milieu donc BDCH est un parallélogramme. (est-ce la bonne réponse ? si oui, ai-je bien expliqué pourquoi ? svp )

b) Déduisez-en que (BH) est perpendiculaire à (AC) et que (CH) est perpendiculaire à (AB).

Je ne sais pas comment m'y prendre et quoi utiliser pour déduire cela

c) Que représente H pour le triangle ABC ?

H est le centre du cercle circonscrit donc le point d'intersection des médiatrices.

2. La droite (OH) coupe (AA') en G.
a) Démontrez que G est le centre de gravité du triangle ADH.

Le centre de gravité est l'intersection des médianes. Les médianes sont des droites qui joignent un sommet au milieu du côté opposé. Je nomme D' le point qui sépare (AH) en deux parties égaux. Donc (AA'), (DD') et (OH) sont des médianes et elles se coupent en G qui est donc le centre de gravité du triangle ADH.

b) Pourquoi AG = (2/3)*AA' ? Déduisez-en que G est aussi le centre de gravité du triangle ABC.

Merci d'avance !

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

1)a) bien, précise le nom du milieu.

1)b) Montre que (AC) perpendiculaire à (DC) puis utilise 1)a)

1)c) c'est faux car sinon H serait le centre du cercle circonscrit.

2)a) je ne comprends pas ce qui suit :

Je nomme D' le point qui sépare (AH) en deux parties égaux.

sosmaths

[Laurie]

1. a) Dans le quadrilatère BDCH : (BC) et (HD) qui sont les diagonales ont le même milieu A' donc BDCH est un parallélogramme.

b) Dans le triangle ABC (BH) est la hauteur issu du sommet B et une hauteur c'est une droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé. et ici le côté opposé au sommet B est AC.

c) H est le point de concourt des hauteurs : l'orthocentre.

J'ai placé un point D' qui sépare AH en deux parties égaux donc (AD') = (D'H) pour ensuite montrer que les médianes se coupent en G

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

1)a) ok
b) non, tu ne sais pas que (BH) est une hauteur. Ce n'est pas dit dans l'énoncé.
Fais ce que je t'ai dit dans le message précédent. Montre d'abord que (DC) et (AC) sont perpendiculaires. N'oublie pas que [AD] est un diamètre.

c) oui, mais il faut le montrer.

[Laurie]

b) (BH) est parallèle à (DC) dans le parallélogramme DCHB.
D et A étant diamètrement opposé alors l'angle DCA est droit donc DC est parallèle à AC.
Par suite BH parallèle à DC est perpendiculaire à AC.

c) (CH) est une hauteur issue de C et (BH) est une hauteur issue de B. Elles se coupent en H qui est donc leur point de concourt : l'orthocentre.

[SoS-Math(4)]

b) bien , tu as compris.

c) tu as montré que (BH) est une hauteur mais tu n'as pas montré que (CH) est une hauteur

sosmaths

[Laurie]

Je suis désoler je vois pas comment montrer que (CH) est une hauteur :/

[SoS-Math(4)]

Montre que (BD) est perpendiculaire à (AB), puis utilise à nouveau le fait que (BDCH) est un parallélogramme.

sosmaths

[Laurie]

(BD) est parallèle à (HC) dans le parallélogramme DCHB. D et A étant diamètrement opposé alors l'angle DBA est droit donc (DB) est perpendiculaire à (BA). Par suite (CH) parallèle à (BD) est perpendiculaire à (BA ) ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Laurie,

Voici la propriété qui peut te permettre de montrer que (AB) et (BD) sont perpendiculaires :
Si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un côté du triangle, alors le triangle est rectangle.

SoSMath.

[Laurie]

D'accord, je vous remercie beaucoup ! :D