SOS-MATH

Bonjour ,
je dois faire un Dm

On appelle " arbelos d'archimède " le domaine délimité par les 3 demi cercle de diamètres respectifs [AB] , [AM] et [MB] , comme sur la figure ci contre .
On désigne par P (x) le périmètre de l'arbelos et par A(x) l'aide de l'arbelos .

1/ Montrer que P(x) est constant pour x appartient à [0, 6 ] .
2/ Montrer que A(x) = PI /4 (6x-x2 ) , avec x appartient à [O , 6 ]
3 / Que vaut A ( O ) ? Et A (6) ?
4 / En déduire que l'aire de l'arbelos est maximale pour certaine valeur de x que l'on précisera .

En fait mon problème c'est juste la dernière question je ne sais pas pourquoi mais je ne sais pas comment le démontrer a la q1 j'ai trouvé 6pi a la 2 j'ai trouvé ce qui était demandé a la 3 pour A(0) et A(6) j'ai trouvé 0 donc je suis sur que c'est a 3 que l'aire est maximale . j'ai pensé a faire un tableau de variation , ou trouver un maximum avec alpha ou bien simplement comme a 0 et 6 je trouve 0 alors plus on se rapproche de la moitié pus l'aire sera grande . Voila qu'est ce que vous en pensez ? merci

Bonjour,
Je ne vois pas la figure envoyée et je ne peux donc pas t'aider pour le moment.
Je vais essayer de faire sans, avec les données fournies. Pour Le périmètre, on trouve bien qu'il est constant égal à \(6\pi\).
Pour l'aire, on calcule l'aire du grand demi-disque \(\frac{1}{2}\times 36\pi\) à laquelle on retranche l'aire du premier demi-disque \(\frac{1}{2}\times\frac{\pi x^2}{4}\) et celle de l'autre demi-disque : \(\frac{1}{2}\times\frac{\pi (6-x)^2}{4}\)
En développant et réduisant, on retrouve bien \(\mathcal{A}(x)=\frac{\pi}{4}(6x-x^2)\). On a donc bien \(\mathcal{A}(0)=\mathcal{A}(6}=0\) donc le maximum est situé entre les deux. Tu penses que c'est pour x=3, on alors \(\mathcal{A}(3)=\frac{9\pi}{4}\).
Pour prouver que cette valeur est un maximum, je te conseille de former la différence \(\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(3)\), tu dois pouvoir factoriser par \(\frac{\pi}{4}\), puis tu dois reconnaitre une identité remarquable tu type \({-}(a-b)^2\), ce qui prouvera que ta différence est égale à un nombre négatif (l'opposé d'un carré est toujours négatif) ce qui signifiera concrètement que \(\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(3)\leq 0\), c'est à dire en passant de l'autre côté \(\mathcal{A}(x)\leq\mathcal{A}(3}\), ceci étant vrai pour tout \(x\), cela prouve que \(\mathcal{A}(3)\) est un maximum.
Bon courage pour la mise en forme.
Merci,
A bientôt sur sos math