produit scalaire

[yann]

Bonjour

dans un plan muni d'un repère orthonormal $0, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ on a deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x , y)$ et $\overrightarrow{v}(x',y')$

on a alors $||\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|| =||\overrightarrow{x}.\overrightarrow{x'} + \overrightarrow{y}.\overrightarrow{y'}||$

pouvez vous m'indiquez comment faire la démonsration

[SoS-Math(33)]

Bonsoir yann,
il te faut utiliser l'écriture de $\overrightarrow{u}$ et de $\overrightarrow{v}$ dans le repère $0, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v} = x'\overrightarrow{i} + y'\overrightarrow{j}$
Ensuite tu calcules le produit scalaire avec ces formes la.
Je te laisse faire le calcul.

[yann]

Bonsoir SOS 33

merci de m'avoir répondu et aussi de m'aider (une nouvelle fois )

est ce que je dois utiliser la formule $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\begin{Vmatrix} \overrightarrow{u} \end{Vmatrix}^{2} + \begin{Vmatrix} \overrightarrow{v} \end{Vmatrix} - \begin{Vmatrix} \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} \end{Vmatrix} ^{2}\end{pmatrix}$

[SoS-Math(25)]

Bonjour Yann,

Tu peux utiliser cette formule.

$||\vec{u}||^2 = x^2 + y^2$....

Tu devrais aboutir au résultat désiré.

Bon courage !

[yann]

Bonsoir

en utilisant $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= (\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}) (\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j})$

j'utilise la propriété :

$(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}) (\overrightarrow{w}.\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{x}$

donc je reprends avec u et v :
$(\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}) (\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j})= \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}$

ensuite , on peut simplifier (ou plutôt factoriser)

$(\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}) (\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j})= i(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{x'})+ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j} +\overrightarrow{y} .\overrightarrow{j}+\overrightarrow{x'} .\overrightarrow{i} +j(\overrightarrow{y}.\overrightarrow{y'})$

[SoS-Math(33)]

Bonsoir yann,

$(\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}) (\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j})= \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}$
quand tu simplifies cette ligne , $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}$ ne sont-ils pas égaux à 0?

[SoS-Math(31)]

Bonjour Yann, ta dernière ligne est fausse
(x$\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$). (x'$\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}$) = x x' overrightarrow{i}.overrightarrow{i} + xy' overrightarrow{i}.overrightarrow{j}+x'y

overrightarrow{i}. overrightarrow{j}+yy'overrightarrow{j}.overrightarrow{j}