variation de fonction

[Patricia]

Bonjour et bonne année
Voici un exercice
Dans un cercle de rayon 4 cm , on inscrit un rectangle ABCD .
Comment doit-on le construire pour que son aire soit maximale?


Aire du rectangle ABCD est égale à [AD] * [AB]
avec AD=x et AB= AD+y= x+y
avec 0<x< ou égal à 4 et y supérieur ou égal à 0.
Donc l'aire du rectangle ABCD = x*(x+y)= x2+xy.
f(x)=x2+xy
Là je ne voit pas de suite

Aire du rectangle ABCD est égal à l'aire du triangle rectangle ABD multipliée par deux.
Si l'aire de ABD est maximale alors l'aire de ABCD sera maximale.
Calcul de l'aire ABD rectangle en A.
BD la diagonale du rectangle est le diamètre du cercle. Donc BD=4*2=8cm
On utilise le théorème de Pythagore
AD2+AB2=BD2
On pose AD=x et AB=AD+y AB=x+y
avec 0<x< ou égal à 4 et y supérieur ou égal à 0.
x2+(x+y)2=82
x2+x2+2xy+y2=64
2x2+y2+2xy=64

Et là de nouveau je bloque

Merci pour votre aide

[sos-math(20)]

Bonsoir Patricia,

Utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en A ABD est une très bonne idée !!
Mais tu t'encombres avec des y !!

Tu as posé AD=x (c'est bien !) et tu sais que BD=8 (car c'est un diamètre du cercle).
Utilise le théorème de Pythagore pour calculer AD en fonction de x.
Cela te permettra ensuite de pouvoir exprimer l'aire du rectangle en fonction de x, et l'étude de cette fonction de donnera la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale.

Bon courage

SOSmath

[Patricia]

Bonsoir,
si j'ai bien compris
on utilise
AD2 + AB2= BD2 AD=x
x carré +AB carré= 8 carré
AB carré = 64-x carré
AB= racine carré de 64-x carré

L'aire du rectangle
AB*AD
X* racine carré de 64-x carré
f(x) = X* racine carré de 64-x carré
Avec la calculatrice on trouve 12 racine carré de 7 soit environ 31.74m carré
Merci de votre aide

[sos-math(20)]

Bonsoir,

J'ai l'impression que là tu donnes la valeur maximale de l'aire, mais tu n'expliques pas comment il faudra construire le rectangle alors que c'est ce que l'on te demande.

Il va te falloir reprendre ta conclusion.

Bon courage

SOSmath

[patricia]

Bonsoir
effectivement je ne répond pas à la question
Donc en conclusion
Avec la calculatrice on trouve que pour x=6 l'aire est maximale (12 racine carré de 7 soit environ 31.74m carré)
Donc pour le rectangle ABCD on a AD=x=6 et AB = racine carré de 64-6 au carre= racine carré de 64-36= racine carré de 24= 2 racine carre de 6 environ 4.89

Je suis étonnée car je pensais que AD aurait du être égal à AB est donc conclure à un carré
Merci encore de m'indiquer si mes calculs sont justes ou bien si j'ai fait une erreur avec la calculette

[patricia]

Bonsoir,
problème de calculette ou de racine carré
Donc pour le rectangle ABCD on a AD=6cm et AB=V64-36=V28=5,29 ou 5,3

Merci de m'indiquer si le résultat est juste car je pensais que l'aire maximale dans un cercle correspondait à un carré même si la question est pour un rectangle
Merci de vos explications
A bientôt

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Comment as-tu déterminé la valeur x=6 ? Je ne suis pas d'accord avec cette valeur.

A bientôt

[patricia]

Bonsoir
J'ai fait en sorte que le tableau affiche 1/2/3/4 faut-il qu'il affiche 0.1/0.2/0.3/0.4.....
Mon équation est elle juste?
Merci de votre réponse

[patricia]

Bonsoir
en affinant avec la calculette j'ai trouvé x=5.65 pour AD=5.65 et AB serait égal à 5.66
ou x=5.66 et AB=5.65
quel est la bonne réponse dans les deux cas on se rapproche du carré.
Merci de m'indiquer si c'est exacte

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Patricia,

Ici tu n'as qu'une seule bonne réponse c'est le cas où \(x\approx 5,65\) (AB dépend de la valeur de \(x\)). Effectivement, dans ce cas, le rectangle est un carré. Tu peux alors calculer la valeur exacte de \(x\) !

Bonne continuation.

[patricia]

Bonjour
avec la calculette x~=5.65
Comment trouver une valeur exacte faut-il encore affiner la recherche?
Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu sais que ton rectangle est un carré alors tes deux côtés sont égaux : \(x=\sqrt{64-x^2}\), soit en élevant au carré \(x^2=...\) et tu peux alors retrouver une valeur exacte de ton côté.
Bon calcul