Exercice

[Julie]

Bonjour , j'ai un exercice de maths , je l'ai fait mais j'aimerais bien que vous me corrigiez mes fautes , merci .
On m'a expliquer le c , mais je n'ai rien compris c'est sûrement la formulation de la phrase pourriez vous m'aidez pour le c ?
Merci d'avance .
Sujet : Soit le carré ABCD , de côté 2, E, le milieu de [BC] , F, celui de [AD] et H , celui de [AB] .

1- donnez les coordonnés des points dans le repère orthonormé ( A,H,F) le point G ) .
1- donnez les équations de (AE ) er ( DH) puis les coordonnée de leur intersection G .
b- montrer que AG= 2 GH , puis montrer que le triangle AGH est rectangle er calculer son aire .
c- en déduire l'air du quadrilatère GECD .

1)
selon le repère (A ; H ; F) on a A est origine du repère , ses coordonnées sont (0 ; 0)
H a pour coordonnées (1 ; 0 )
et
F a pour coordonnées (0 ; 1)

donc les points B ,C , D , E ont pour coordonnées :
B(2 ; 0)
C(2 ; 2)
D(0 ; 2)
E(2 ; 1)

2)
a)
(AE) passe par A (origine du repère !) donc l'équation de (AE) est de la forme y = ax
donc oin n'a qu'à chercher le coefficient directeur de cette droite !
Le point E(2 ; 1) appartient à (AE) c'est évident !!
donc :
1 = a * 2 ----> a = 1/2
l'équation de la droite (AE) a pour équation : y = (1/2)x


(DH) a pour équation de la forme y' = a'x + b'
coéfficient directeur :
a' = (yh - yd) / (xh - xd)

= (0 - 2) / (1 - 0)

= -2

H(1 ; 0) appartient à la droite (DH) donc ses coordonnées vérifient l'équation de (DH) :
0 = (-2 * 1) + b' ----> b' = 2

donc l'équation de la droite (DH) a pour équation :
y' = -2x + 2


Parler des coordonnées d'intesection de deux courbes(ici on a des droites (AE) et (DH)!)
c'est résoudre l'équation y = y'

(1/2)x = -2x + 2

x = 2(-2x + 2)

x = -4x + 4

x + 4x = 4

5x = 4

x = 4/5

donc le point d'intersection G de nos deux droites a pour abscisse x = 4/5

donc pour trouver son coordonnée il suffit de le trouver par l'une des deux équations des deux droites!

on prendra la plus simple :

y = (1/2)x ---> pour G : y = (1/2) * (4/5) ---> y = 4/10 ---> y = 2/5

donc les coordonnées de G sont (4/5 ; 2/5)


b)
avec le module d'un vecteur
sinon directement :
la distance entre deux points A(xa ; ya) et B(xb ; yb) est :

AB² = (xb - xa)² + (yb - ya)²

donc
AG² = (xg - xa)² + (yg - ya)²

--> AG = √[((4/5) - 0)² + ((2/5) - 0)²]

= √[(4/5)² + (2/5)²]

= √[(16/25) + (4/25)]

= √[(16 + 4) / 25]

= √(20/25)

= √20/√25

= √(4 * 5) / √25

= 2√5 / 5

et :

GH² = (xh - xg)² + (yh - yg)²

--> GH = √[(1 - (4/5))² + (0 - (2/5))²]

= √[((5 - 4)/5)² + (-2/5)²]

= √[(1/5)² + (-2/5)²]

= √[(1/25) + (4/25)]

= √[(1 + 4) / 25]

= √5/√25

= √5/5

donc :

2 * GH = 2 * (√5/5) = 2√5/5 = AG

---> AG = 2GH

AGH est un triangle rectangle par le théorème de Pythagore:

AG² + GH² = (2GH)² + (GH)²

= 4GH² + GH²

= 5GH²

= 5 * (√5 / 5)²

= 5 * (5/25)

= 25/25

= 1

= 1²

= AH²

donc AH² = AG² + GH²

Le triangle AGH est rectangle en G.

Aire du triangle rectangle AGH :

Aire = (AG * GH) / 2

= (2GH * GH)/2

= 2 GH² / 2

= GH²

= (√5 / 5)²

= 5/25

= 1/5

= 0,2 ; (l'unité est au carré )


c)
en déduire l'aire de GECD ?

On a :
ADH est un triangle rectangle en A .
AEB est un triangle rectangle en B .

Aire GECD = Aire ABCD - Aire ADH - Aire AEB -----
(2 * 2) - [(AD * AH)/2] - [(AB * BE)/2]

= 4 - [(2 * 1)/2] - [(2 * 1)/2]

= 4 - (2/2) - (2/2)

= 4 - 1 - 1

= 4 - 2

= 2 (l'unité est au carré )

[SoS-Math(9)]

Bonjour Julie,

en principe on ne corrige pas les exercices ... on aide les élèves à les faire.
Cependant j'ai regardé ce que tu as fait. Cela semble juste sauf la dernière question !
Aire GECD = Aire ABCD - Aire ADH - Aire AEB + aire AGH.
En effet quand tu soustrais les aires de ADH et AEB, tu enlèves deux fois l'aire de AGH.
Donc il faut calculer l'aire de AGH ... commence par démontrer qu'il est rectangle.

SoSMath.