Bonjour
je suis actuellement face à un devoir qui me pose quelques difficultés et j'aimerais que vous m'aidiez un peu:
Un jardiner veut entourer une partie de se sont potager d'un grillage pour la protéger des lapins qui viennent manger ses légumes. Il a récupéré 120m de grillage, et souhaite entourer une zone rectangulaire. Il se demande quelles devront être les dimensions de ce rectangle pour que l'aire protégée soit la plus grande possible.
1) son voisin lui dit:" tous les rectangles auront le même périmètre de 120m, donc aussi la même aire." Qu'en pensez vous?
rien de bien compliqué il suffit juste de donner un contre exemple.
2) Donner une solution au problème posé. Justifier .
on nomme x la longueur donc le périmètre est: 2x+120-2x. Donc deux largeur est égales a 120-2x alors une largeur est égale a 60-x et donc la fonction qui permet d'exprimer l'aire est: f(x)= x(60-x)=60x-x²
Déjà par conjecture graphique on peut dire que l'aire sera la plus grande pour x=30 se serait donc un carré. Pour prouvé que 30 est le maximum de la fonction on doit prouver que f est croissante sur [0;30] et décroissante sur [30;60].
pour prouver qu'elle est croissante je fais ceci:
On chois 2 nnombres a et b de [0;30] où ( a<b ).
j'ai tester par inéquation et se n'est pas vraiment terrible.
j'ai donc fait f(a)-f(b):
60a-a²-(60b-b²)
60a-a²-60b+b²
60a-60b+b²-a²
60(a-b)+(b-a)(b+a)
on pourrait peut être faire quelque chose avec le (a-b) et (b-a) vu que se sont des nombres opposés mais je suis quand même bloqué et c'est donc pour ça que je suis venu sur ce forum pour que vous donnez un coup de pouce.
Cordialement
Jonathan
DM avec une fonction
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jonathan
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sos-math(22)
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- Enregistré le : lun. 6 sept. 2010 16:53
Re: DM avec une fonction
Bonsoir Jonathan,
C'est très bien tu as bien travaillé, tout me semble correct.
Je t'aide juste à terminer.
Pour cela, il faut factoriser le résultat obtenu par \(b-a\).
\(f(a)-f(b)=60(a-b)+(b-a)(b+a)=(b-a)(-60+a+b)\).
On que \(b-a>0\) comme \(a<b\).
De plus, comme \(a<30\) et \(b<30\), on a \(a+b<60\) c'est-à-dire \(a+b-60<0\).
\(f(a)-f(b)\) est donc le produit de deux réels, dont l'un est positif et l'autre négatif.
On a donc \(f(a)-f(b)<0\).
A toi de terminer l'exercice maintenant ; bonne continuation.
C'est très bien tu as bien travaillé, tout me semble correct.
Je t'aide juste à terminer.
Pour cela, il faut factoriser le résultat obtenu par \(b-a\).
\(f(a)-f(b)=60(a-b)+(b-a)(b+a)=(b-a)(-60+a+b)\).
On que \(b-a>0\) comme \(a<b\).
De plus, comme \(a<30\) et \(b<30\), on a \(a+b<60\) c'est-à-dire \(a+b-60<0\).
\(f(a)-f(b)\) est donc le produit de deux réels, dont l'un est positif et l'autre négatif.
On a donc \(f(a)-f(b)<0\).
A toi de terminer l'exercice maintenant ; bonne continuation.
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jonathan
Re: DM avec une fonction
Merci pour votre aide
vu que f(a)-f(b)<0 alors f(a)<f(b) donc la fonction est croissante sur [0;30]
Puis je fais la même chose sur [30;60] sauf qu'on obtiendra f(a)-f(b)>0 alors f(a)>f(b) et vu que antécédents sont classés en ordre inverse par rapport aux image je peut en conclure que la fonction est décroissante sur [30;60] et ainsi en conclure que 30 est bien le maximum de la fonction.
Mais j'aimerais bien que vous m'expliquiez pourquoi 60(a-b)=-60(b-a)
Cordialement
Jonathan
vu que f(a)-f(b)<0 alors f(a)<f(b) donc la fonction est croissante sur [0;30]
Puis je fais la même chose sur [30;60] sauf qu'on obtiendra f(a)-f(b)>0 alors f(a)>f(b) et vu que antécédents sont classés en ordre inverse par rapport aux image je peut en conclure que la fonction est décroissante sur [30;60] et ainsi en conclure que 30 est bien le maximum de la fonction.
Mais j'aimerais bien que vous m'expliquiez pourquoi 60(a-b)=-60(b-a)
Cordialement
Jonathan
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sos-math(22)
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Re: DM avec une fonction
Re-bonsoir,
Ah, ce n'est pas bien difficile...
\(60(a-b)=60\times[(-1)\times(b-a)]=-60(b-a)\)
D'accord ?
Bonne soirée.
Ah, ce n'est pas bien difficile...
\(60(a-b)=60\times[(-1)\times(b-a)]=-60(b-a)\)
D'accord ?
Bonne soirée.