Rectangle d'or

[Robin]

Bonjour, on m'a donné un DM de maths pendant les vacances.
Il y a 3 exercices, j'ai réussi les 2 premiers, mais je bloque sur le 3eme.
Le voici :

Voici une construction d'un rectangle d'or.
ABCD est un carré de coté de longueur a
L'arc de cercle de centre I, milieu de [AB] passe par les points D, C et E.

1) a) Determiner en fonction de a les dimentions des rectangles BEPC et ADPE
b) En déduire que ces deux rectangles ont le meme format dont on donnera la valeur exacte. Ce nombres s'apelle nombre d'or et se note Phi en hommage au sculpteur Phidias qui décora le Parthénon a Athènes.

ça a l'air simple mais je sais pas du tout comment m'y prendre. J'ai essayé avec Pythagore sur le triangle ADI pour avoir la longueur AE mais je bloque...

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Commence par chercher le rayon du cercle en fonction de a.

sosmaths

[Robin]

D'abord merci pour votre réponse.
J'avais essayé de chercher la longueur du rayon avec pythagore.
J'avais trouvé DI= a²+(0.5a)² donc DI = a²+0.25a² = IE

A partir de la j'ai trouvé
AE= IE + IA = a²+0.25a² + 0.5a
et BE = IE - IB = a²+0.25a² - 0.5a

Donc dimensions de BEPC : (a²+0.25a²-0.5a) x a soit (1.25a²-0.5a) x a
Et dimensions de ADPE : (a²+0.25a²+0.5a) x a soit (1.25a²+0.5a) x a

Et la question b) dit "En déduire que ces deux rectangles ont le meme format"
> D'après mes calculs, ils n'ont pas le meme format. (Le format en question doit etre phi je pense)

Donc soit mes calculs sont faux, soit je me suis planté ailleurs...

[SoS-Math(4)]

Tout d'abord il faut simplifier tes résultats.

a²+0,25a²=1,25a²=(5/4)a²
D'autre part le résultat n'est pas IE, mais IE²
Donc \(IE=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

Tu dois donc corriger tes calculs.

D'autre part , si on te demande les dimensions d'un rectangle , il s'agit de sa longueur et de sa largeur.

sosmaths

[Robin]

Ah oui, IE² je suis bete.
D'accord donc \(IE^^{2}=\frac{5}{4}a^2\)

Donc \(IE=\frac{a\sqrt{5}}{2}\) ( ça c'est le nombre d'or non? )

A partir de la :
\(AE= IE + IA = \frac{a\sqrt{5}}{2} +\frac{1}{2}a\)

et \(BE= IE - IB = \frac{a\sqrt{5}}{2} -\frac{1}{2}a\)

Donc dimensions de BEPC : \(\frac{a\sqrt{5}}{2} \frac{1}{2}a\) par a

Et dimensions de ADPE : \(\frac{a\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}a\) par a

Mais a cause du +0.5a et -0.5a, je ne peux toujours pas conclure que c'est les meme formats non?

[SoS-Math(4)]

Ok.

Le format c'est le quotient de la longueur par la largeur. Calcule les 2 quotients pour les comparer.

sosmaths

[Robin]

Euh, donc ça donerait pour BEPC : \(\frac{a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}a}\)

Et pour ADPE : \(\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}a}{a}\)

?

Si oui, j'ai aucune idée de comment le calculer, je sais pas si j'ai le droit d'enlever des a en haut et en bas... :S

[SoS-Math(4)]

Tu as fait largeur/longueur, mais ce n'est pas grave.
Oui, effectivement en mettant a en facteur tu peux simplifier par a.

Donc l'un des quotients devient \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\).

Pour l'autre quotient , tu multiplies en haut et en bas par l'expression conjuguée, pour simplifier l'expression.

sosmaths

[Robin]

Ah ouais OK !
Donc si j'ai inversé longueur largeur : En simplifiant on a BEPC : \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
Et après donc pour ADPE je fais comme vous avez dit avec l'expression conjuguée, ça me donne une identité remarquable que je simplifie, puis je calcule les carrés et au dénominateur je trouve a². Ensuite je simplifie par a en haut et en bas, et je retombe sur la fraction des dimensions de BEPC!

Génial!
Merci beaucoup!

[SoS-Math(4)]

Pas de quoi, à bientôt.

sosmaths

[Robin]

Euh, par contre sur internet on me dit que le nombre d'or est \(\frac{1 \sqrt{5}}{2}\)

Et dans l'exercice, le resultat est \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

C'est normal?

[SoS-Math(8)]

Je confirme ce qui est dit sur Internet:
Le nombre d'or est bien:\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Tu as dû commettre une erreur de calculs. Reprends les.

[Robin]

Ok j'ai compris, vu que j'avais inversé largeur longueur, quand j'ai repris les calculs, j'ai juste échangé les deux expressions. Alors qu'en fait, celle de ADPE qui est \(\frac{a}{...}\) est avec \(-\frac{1}{2}a\) et non pas \(+\frac{1}{2}a\)

Ok c'est tout bon, je pense réussir la suite de l'exercice facilement... (parce qu'il y a d'autres questions)

Encore merci!

[SoS-Math(8)]

Bon courage alors pour la suite.