Fonction affine

[Mélanie]

Bonjour,
Je bloques actuellement sur mon DM j'aimerais un peu d'aide^^

Exercice 1 Justifier si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses

Soit f la fonction définie par f(x) = -2x-3

a) f est négative sur R (R est bien une intervalle ?)

Je comptais faire un tableau des signes pour prouver qu'elle est aussi positive.

b) f est décroissante sur R

Avec le tableau des signes on pourrait le justifier

c) f est représentée graphiquement par une droite

-2x-3 est de la forme ax+b donc fonction affine donc une droite.

d) f s'annule en 3/2

sa veux dire que f(3/2) = 0
donc -2(3/2)-3 = -3-3 = -6
donc faux.

2)
Soit f une fonction affine dont le tableau de variation est le suivant !

x -oo 3 +oo
f(x) 0

f(x) est décroissante.

a) f(0)>0 vrai (comment justifier ?)
b) f(4)<0 vrai (idem)
c) f(0)=3 faux (idem)
d) f(4)<f(0) vrai (idem)

3 )

Soit (D) al droite représentant la fonction affine définie sur R par f(x)=-1/2x + 2/3

a) (D) coupe l'axe des ordonnées au point A(0,3/2)

on vérifie 3/2 = -1/2(0)+2/3 3/2=2/3 donc faux

b) (D) coupe l'axe des abscisses au point B x=1.3

Je ne vois pas

c) (D) est strictement au dessus de l'axe des abscisses sur ]4/3,+oo[

Je fais un tableau de signes ?


Merci

[sos-math(19)]

Bonsoir Mélanie,

Question 1a
R est bien un intervalle.
Pour prouver qu'une proposition est fausse, il suffit de donner un contre-exemple.
Ici, cela veut dire qu'il suffit de donner une valeur de x dont l'image par f est positive.

Question 1b
Non, le signe de f ne donne aucune indication sur le sens de variation de f.
Tu peux utiliser un résultat connu sur le sens de variation d'une fonction affine : à toi de voir lequel.
Tu peux aussi repasser par la définition d'une fonction décroissante : tu dois retrouver cela dans ton cours.

Question 1c
Bonne réponse.

Question 1d
Bonne réponse.

Question 2a
f est décroissante, donc x<3 implique f(x)>f(3). Termine le raisonnement.
On utilise le fait qu'une fonction décroissante range les images dans l'ordre inverse des antécédents.

Question 2b
Même raisonnement à adapter pour x>3. Je ne réponds pas à ta place.

Question 2c
Les informations permettent de connaître le signe de f(0), mais pas sa valeur précise.

Question 2d
On peut utiliser les réponses a et b.
On peut aussi reprendre le raisonnement de la question a, en partant de l'hypothèse 4>0 implique ...

Question 3a
Bonne réponse.

Question 3b
Tout point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle.
On cherche donc x tel que f(x) = 0. A toi de continuer.

Question 3c
Dire que (D) est au-dessus de l'axe des abscisses signifie que f(x) > 0.
Tu peux donc résoudre l'inéquation f(x) > 0 et voir si l'intervalle ]-4/3;+00[ est inclus dans les solutions.
Tu peux présenter un tableau de signes, mais celui-ci est à justifier par la résolution précédente.
Tu peux aussi utiliser le résultat de la question 3b et faire intervenir le sens de variation de f.

Tu vois qu'il y a plusieurs possibilités pour répondre à ces questions.
Bon courage pour poursuivre ton travail après avoir étudier chacune de mes réponses.

[Mélanie]

Bonjour et merci, alors :

1a) f(x)=-2x-3 f(-8)=-2*-8 -3 f(-8)=16-3 = 13 donc Faux

1b) Dire que f est une fonction décroissante sur l’intervalle I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I : si x1 < x2 alors f(x1) > f(x2).

on prend x1=8 et x2=9
f(x)=-2x-3
f(8)=-16-3=-19
f(9)=-18-3=-21
Donc vrai

1c)
-2x-3 est de la forme ax+b donc fonction affine donc une droite.

1d)

sa veux dire que f(3/2) = 0
donc -2(3/2)-3 = -3-3 = -6
donc faux.


2a) 2b) 2c) 2d) Pour ces 4 questions je ne vous suis pas


3a)
on vérifie 3/2 = -1/2(0)+2/3 3/2=2/3 donc faux

3b)
(D) coupe l'axe des abscisses au point B x=1.3

donc B(1.3,0)
On vérifie f(x)=-1/2x+2/3
0=-1/2*1.3+2/3= -0.65+2/3 = -1.95/3+2/3 =0.5/3 pas égale a 0 donc Faux

3c)

Pour le tableau des signes en cours on ne justifier pas enfin je veux dire on calculer f(x)=0 puis c'était fini on mettait juste les signes (signe de a toujours a droite et a gauche l'inverse) donc que voulez vous dire par justifier par la résolution precedente ?

Merci

[sos-math(13)]

Bonjour,

1a: le contre-exemple choisi est correct et suffisant.
1b:là, un simple exemple ne suffit pas à prouver que la propriété est TOUJOURS vraie.
Il faut considérer x1<x2 et voir comment tu peux transformer ces inégalités pour arriver en effet à f(x1)>f(x2). Mais surtout ne pas prendre de valeurs particulières pour x1 et x2.
1c, 1d : ok
2a:fonction décroissante, je reprends ce que tu as écris : x1<x2 donc f(x1)>f(x2). Or ici 0<3 donc... ?
2b:même principe.
2c:la réponse à 2a permet de dire que c'est possible. Mais on ne sait pas si c'est vrai. On dira "indécidable".
2d:comme tu as f(4)<0 et f(0)>0 d'après 2a et 2b, as-tu f(4)<f(0) ?
3a:ok
3b:quelle est l'image de 1,3 par f ?
3c:La résolution de l'inéquation f(x)>0 (par exemple) te permet de savoir quelles sont les valeurs de x qui ont des images positives, donc pour quelles abscisses la droite est au-dessus de l'axe des abscisses.
Placer seulement un 0 et répartir au petit bonheur la chance les signes autour du 0 n'est pas une méthode fiable. Les signes peuvent être les mêmes, comme tu le verras l'an prochain.
Tu peux ne pas résoudre d'inéquation, comme le disait sos-math(19), mais utiliser le fait que f est décroissante pour dire qu'avant qu'elle atteigne 0, elle est .... (positive ? négative ?) et qu'après, elle est ... (positive ? négative ?)

Bon courage.

[Mélanie]

Bonjour,

1b)

désolé je en vois pas du tout :s


2a)0<3 donc f(0)>f(3) et comme f(3) = 0 on a f(0)>0

2b) Je dois avouer que j'ai pas compris pourquoi vous êtes passer de f(0)>0 à 0<3

2d)f(4) plus petit que 0 et f(0) plus grand que 0 donc oui f(4)<f(0)

3b)
f(1.3)=-1/2*1.3 +2/3 =0.5/3 donc faux non ?

3c)

f est décroissante donc avant qu'elle atteigne 0, elle est positive et qu'après, elle est négative donc en dessous de l'axe des abscisses donc faux


Merci

[Mélanie]

3c:La résolution de l'inéquation f(x)>0 (par exemple) te permet de savoir quelles sont les valeurs de x qui ont des images positives, donc pour quelles abscisses la droite est au-dessus de l'axe des abscisses.
Placer seulement un 0 et répartir au petit bonheur la chance les signes autour du 0 n'est pas une méthode fiable. Les signes peuvent être les mêmes, comme tu le verras l'an prochain.
Tu peux ne pas résoudre d'inéquation, comme le disait sos-math(19), mais utiliser le fait que f est décroissante pour dire qu'avant qu'elle atteigne 0, elle est .... (positive ? négative ?) et qu'après, elle est ... (positive ? négative ?)


Vous êtes sur qu'on ne peux pas faire un tableau de signe ? je peux résoudre -0.5x+2/3=0 et faire le tableau de signes qui me permettrait de savoir si f est positive ou négative, c'ets une fonction affine, les signes ne peuvent pas être les mêmes !

[sos-math(13)]

Bonsoir,

1b : commence par écrire x1<x2. Comme tu sais que tu dois aboutir à f(x1)<f(x2) ou à f(x1)>f(x2), l'objectif est de transformer x1 et x2, par des multiplications, additions, etc... identiques des deux côtés, en f(x1) et f(x2). Attention : multiplier par la même quantité est possible, mais si cette quantité est négative, il faut inverser le sens de comparaison. À toi de jouer.

2a : Ok

2b :
Je te cite "2b) Je dois avouer que j'ai pas compris pourquoi vous êtes passer de f(0)>0 à 0<3"
Je n'ai pas écris cela. Je pense que tu fais plutôt référence à la 2a. Or, dans la 2a, on utilise la propriété de décroissance de f, qui dit que x1<x2 implique que f(x1)>f(x2) (on dit pour faire simple qu'une fonction décroissante inverse le sens de comparaison). C'est ce même principe qu'il convient d'utiliser pour la 2b, en l'adaptant au fait qu'on travaille cette fois avec x1=3 et x2=4.

2d : ok. On pouvait aussi dire que 4>0 donc f(4)<f(0) (inversion du sens de comparaison car on applique une fonction décroissante).

3b : ok

3c : ok pour tes arguments. En revanche je maintiens, mais je crois simplement qu'on ne parle pas de la même chose :
résoudre f(x)=0 ne permet pas d'affirmer qu'avant c'est positif et après négatif.
résoudre f(x)=0 et dire que f est décroissante (ce que tu as finalement fait) le permet : c'est correct !
résoudre f(x)=0 et dire que f est affine ne permet pas de savoir que AVANT c'est positif et APRÈS c'est négatif. Ça peut être le contraire (affine croissante ou décroissante ?)
résoudre f(x)<0 permet de conclure (mais ça peut être délicat)

Tu as bien travaillé !

à bientôt.

[Mélanie]

Bonjour!

2b :
Je te cite "2b) Je dois avouer que j'ai pas compris pourquoi vous êtes passer de f(0)>0 à 0<3"
Je n'ai pas écris cela. Je pense que tu fais plutôt référence à la 2a. Or, dans la 2a, on utilise la propriété de décroissance de f, qui dit que x1<x2 implique que f(x1)>f(x2) (on dit pour faire simple qu'une fonction décroissante inverse le sens de comparaison). C'est ce même principe qu'il convient d'utiliser pour la 2b, en l'adaptant au fait qu'on travaille cette fois avec x1=3 et x2=4.

Je faisait bien référence à la 2a) mais je veux dire comment savoir que x1=0 et x2=3 ?
Si j'ai bien compris vous avais fait comme sa : f(0)>0 f(0)>f(3) car f(3) = 0 et vous avez pris les chiffres entre parenthèse soit x car f(x) mais c'est partir de la conclusion pour y revenir donc j'ai mal compris.

pour la 1a) Je sais que je suis chiante et bête mais je en vois pas du tout pourriez vous me donnez l'amorce ?



3c :je cite " ok pour tes arguments. En revanche je maintiens, mais je crois simplement qu'on ne parle pas de la même chose :
résoudre f(x)=0 ne permet pas d'affirmer qu'avant c'est positif et après négatif."

Enfaite je voulez resoudre f(x)=0 pour faire le tableau de signes ^^ donc a ce moment je peux dire si c'est négatif et positive, du coup j'ai le droit de procéder comme j'ai dit f(x)=0 puis tableau de signes et si - a gauche et + a droite f est décroissante.

Du coup pour la 2b) On aurait pu procéder par un tableau de signes si je ne suis pas folle ?

Sinon si vous avez le droit et que sa ne vous embête pas, pourriez vous me donnez des petites questions pour m'entrainer avant le contrôle ?

Merci :)

[sos-math(13)]

Bonsoir,

pour la 2a, je pars de la définition d'une fonction décroissante sur un intervalle I :
"f est décroissante sur I si quels que soient x1<x2 dans I, f(x1)>f(x2)"
Ici, f est décroissante sur R.
Donc, je choisis x1<x2 comme je veux. Je veux x1=0 et x2=3 et j'en déduis f(x1)>f(x2) donc f(0)>f(3).
Pourquoi x2=3 ? Parce que je sais que f(x2) vaut 0, et que justement, je cherche à comparer f(0) avec 0, donc avec f(3). Vu ?

Pour la 1a, tu n'es ni chiante, ni bête, et tu as toi-même donné un bon exemple dans ton message du 11/03 à 08h14pm. Je t'avais d'ailleurs répondu que c'était correct.

Pour la 3c, tu exprimes une idée fausse, comme en témoigne cette image :

melanie.png (6.29 Kio) Vu 2959 fois

Fonction positive avant 1, négative après 1, et pourtant non décroissante. (non croissante, également...)

Tu aurais pu dresser un tableau de signe pour la 2b, sans problème, tu n'es pas folle ;-)

Enfin, pour les exercices, j'ai le droit de t'en donner, mais ce n'est pas l'objectif de ce forum. En revanche tu peux en rechercher dans ton livre des exercices, t'y essayer, et nous soumettre tes questions. Ça, c'est l'esprit de ce forum.

à bientôt.

[Mélanie]

Bonjour
Pour le livre malheureusement notre région a eu un problème et aucun livre de maths a été distribuée.

Pour la 3c) il me semblé qu'une fonction affine était une droite votre dessin est faux donc non?

Tu aurais pu dresser un tableau de signe pour la 2b, sans problème, tu n'es pas folle ;-)
-> Je voulais dire 2b) et 1b) désolé donc pour la 1b) c'est possible ?


"f est décroissante sur I si quels que soient x1<x2 dans I, f(x1)>f(x2)"
Ici, f est décroissante sur R.
Donc, je choisis x1<x2 comme je veux. Je veux x1=0 et x2=3 et j'en déduis f(x1)>f(x2) donc f(0)>f(3).
Pourquoi x2=3 ? Parce que je sais que f(x2) vaut 0, et que justement, je cherche à comparer f(0) avec 0, donc avec f(3). Vu ?

Je comprends tout sauf "je veux x1=0 et x2=3"
Comment peut t-on savoir qu'on veut x2=3 mise a part que on sait que f(x2)=0 sa revient a ce que j'ai dit donc on a f(0)>0 grâce au tableau qui nous est fourni on sais que pour x=3 on a f(x)=0 donc on peut directement remplacer 0 par f(3) donc?

Merci

[sos-math(13)]

Bonsoir,

le graphique tenait compte des éléments indiqués. Je cite :
"f(x)=0 puis tableau de signes et si - a gauche et + a droite f est décroissante"

Comme il n'est pas fait mention de fonction affine, je présente un contre-exemple.
Préciser qu'elle est affine suffit, mais tu prends le problème à l'envers : on sait qu'elle est décroissante, puisqu'affine de coefficient négatif. Et du coup on détermine son signe.

Pour la 1b, je fais la même remarque. Affine de coefficient négatif donc décroissante. Chercher un tableau de signe pour conclure qu'elle est décroissante parce affine passant de positif à négatif, c'est... euh... tordu.

Pour ta dernière remarque, c'est correct, mais la rédaction que j'ai proposée permettait de réutiliser la définition formelle et ne se contentait pas d'un "on voit bien dans le tableau". Tout dépend du niveau de rigueur que ton prof te demande.
Il y a beaucoup de choses qui "se voient" en math. Reste à savoir si on considère que c'est suffisant pour être convaincu...

Parfois, on perçoit mal les choses. Les expliciter avec rigueur permet alors de lever les difficultés qu'on n'avait pas forcément imaginé au départ.

Pour le livre, c'est étonnant... D'habitude ce n'est pas la région qui fournit les livres. Ils sont achetés par les élèves, en France. Sinon, il te reste une source inépuisable : internet, mais n'y perd pas trop de temps !

Bon courage.

[Mélanie]

Bonjour^^

Oui les livres sont achetés mais cette année ceux de maths devaient être une nouvelle édition elle était donc distribuer dans la liste mais comme il y a eu un problème il n'y a pas pu avoir de livre^^

Concernant la fonction affine je ne l'ai précisée indirectement dans mon premier message en disant
"Soit (D) la droite représentant la fonction affine définie sur R par f(x)=-1/2x + 2/3"^^

Enfaite la leçon qu'on a fait était que faite d'exemple et ces exemples était des tableau de signes (un produit un quotient...)
Donc je pense que ma prof attend de nous qu'on utilise ces tableaux^^

Pour les fonctions négatif j'avais complétement oublié que quand le a de ax+b est négatif la droite est décroissante
Du coup au lieu de transformer x1>x2 en f(x1)<f(x2) on peux passer par le signe négatif du coefficient directeur?

Sinon notre prof accepte toutes les possibilités de résolution tant que c'est juste.

Demain je posterais mes 3 autres exos (que j'ai réussi j'en suis sûre) pour vérifier avec vous

Merci beaucoup

[sos-math(13)]

Bonsoir,

pour la justification à partir du coefficient directeur, c'est bon.

Sinon :

Demain je posterais mes 3 autres exos (que j'ai réussi j'en suis sûre) pour vérifier avec vous

Ce n'est pas la peine de poster si tu es sûre d'avoir réussi. Maintenir le forum nous prend de nombreuses heures. Il vaut mieux que nous les réservions pour les vrais problèmes.

Le tien ayant été résolu, ce sujet est clos.

à bientôt.