DM sur Différence de carré

[Eléa]

Bonjours, voilà j ai de grosse difficulté en math j aimerai avoir votre avie sur les reponses que j'ai trouvé pour ce DM :
On considére la suite des carrés parfaits 1 ; 4 ; 9 ; 16
a) Calcule 4 - 1 = 3 25 - 16 = 9
9-4= 5 16-9 = 7
Que constate tu ? Je constate que le resultat augmente de deux en deux,qu'il est impair et que chaque terme de la différence sont des carré parfait.
B) Que peut tu conjecturer de la suite des différences de deux carré successifs ?
je peux conjecturer que la somme de nombres comsecutifs, un nombre impair est egale a la différence de leur carré
Pour demontrer :4 - 1 = 3 et 2 + 1 = 3 or 2 x 2 - 1 x 1 = 3
c ) calcule mentalement 23 x 23 - 22 x 22
C est egale a 45 car 23 + 22 = 45
Est ce bon ? Mon frére me dit que ce n est pas ca ,mais moi je crois vraiment que c est ca ou du moins qu'il y a une partie de juste.

[SoS-Math(24)]

Bonjour Eléa,
Ta constatation du a) est correcte.
La conjecture faite au b) doit être formulée un peu mieux. Par exemple : La suite des différences de deux carrés successifs est la suite des nombres impairs.
Pour le démontrer, appelle n le premier nombre élévé au carré : tu as ainsi n² - (n - 1)² = ..... A toi de poursuivre pour montrer que le résultat est un nombre impair.
Grâce à ce que tu auras démontré, tu n'auras plus aucun problème pour calculer mentalement 23x23 - 22x22.

Bonne recherche.
sos-math

[Eléa]

Re bonjours, merci de votre précedente reponse mais je n'ai pas compris la phrase : " La suite des différences de deux carré successifs est la suite des nombres impairs "
Puis je mettre a la place " Je pense que la sommes de 2 nombres consécutifs est egale a la difference de leur carré . Cette sommes et cette difference ont pour resultat un nombre impair.
Et pour demontrer : n x n ( n - 1 ) au carré = 2n - 1
Alors ? Est ce juste ?

[SoS-Math(24)]

Rebonjour Eléa,
Ta phrase est confuse. Je te rappelle qu'une somme est le résultat d'une addition, et qu'une différence est le résultat d'une soustraction. Ici tu fais la différence des carrés de deux nombres consécutifs.
Et oui, tu as raison, n² - (n-1)² = 2n + 1 (qui est un nombre impair)

Bonne continuation.
Sos-math

[Elea]

J'ai compris ce qui clochait dans ma phrase mais je n'ai toujours pas compris cette phrase "La suite des difference de deux carré succéssifs est la suite des nombres impairs "
Que signifie t'elle ? Est la proprieté que je doit deviner ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Eléa,

Je fais la suite des différences de deux carrés:

1²-0²=1
2²-1²=3
3²-2²=5
4²-3²=7
...

Est-ce clair comme cela?
Tu dois expliquer ce phénomène.

A bientôt.

[Eléa]

Bonjour Eléa,
Ta constatation du a) est correcte.
La conjecture faite au b) doit être formulée un peu mieux. Par exemple : La suite des différences de deux carrés successifs est la suite des nombres impairs.
Pour le démontrer, appelle n le premier nombre élévé au carré : tu as ainsi n² - (n - 1)² = ..... A toi de poursuivre pour montrer que le résultat est un nombre impair.
Grâce à ce que tu auras démontré, tu n'auras plus aucun problème pour calculer mentalement 23x23 - 22x22.

Bonne recherche.
sos-math

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Tu as constaté que la différence des carrés de deux nombres qui se suivent forme la suite des nombres impairs.
Il faut le prouver, c'est-à-dire, établir cette égalité pour n'importe quel nombre entier et celui qui le précède.
Pour prouver quelque chose de général sur les nombres, on peut pas se contenter de vérifier que cela marche sur des valeurs particulières, car alors il faudrait le faire sur tous les nombres !
On a une technique plus simple : elle consiste à prendre un nombre entier quelconque et comme cela peut être n'importe lequel, on le désigne par une lettre, par exemple \(n\).
Le nombre qui le suit est \(n+1\) donc si on regarde la différence entre les carrés de ces deux nombres, on devra faire \((n+1)^2-n^2\).
Il te reste à développer cette expression littérale et à regarder ce que cela fait...
Bon courage