Devoir Maison sur les angles inscrits et les polygones.

[Emma]

Bonjour,
J'ai, pour les vacances, un devoir maison à faire. Je l'ai fait mais je ne sais pas si mes réponses sont justes et il y a un exercice où je ne comprend pas comment faire. Je vous écris tout.

Exercice n°1

1) Tracer un cercle de centre O, de rayon 5 cm.
Tracer un diamètre (AC) de ce cercle. (J'ai mis (AC) entre parenthèses car mon ordinateur ne fait pas les crochets)
Placer un point I du cercle distinct des points A et C.
Construire le point B du cercle tel que \(\widehat{AIB}\) = 30°
2) Quelle est la nature du triangle BAC ? Justifier la réponse.
3) Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier la réponse. Prouver que AB=5cm.
4) En déduire la longueur BC.
Voici mes réponses :

1) La figure est faite.

2) Le triangle BAC a pour côté un diamètre du cercle C.
Propriété: Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle.
Ici, je peux dire que le triangle BAC est rectangle en B.

3) - Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
Ici, \(\widehat{BCA}\) et \(\widehat{BIA}\) interceptent le même arc BA.
\(\widehat{BIA}\) = 30° alors \(\widehat{BCA}\) = 30°

- Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Alors : \(\widehat{BCA}\) + \(\widehat{BAC}\) +\(\widehat{CBA}\) = 180°
\(\widehat{BAC}\) = 180 - (\(\widehat{BCA}\) +\(\widehat{CBA}\))
\(\widehat{BAC}\) = 180 - (30 + 90)
\(\widehat{BAC}\) = 180 - 120 = 60°

- Dans un cercle, l'angle inscrit a la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
Ici, l'angle au centre \(\widehat{BOA}\) intercepte le même arc BA que l'angle inscrit\(\widehat{BCA}\).
Alors,\(\widehat{BOA}\) =\(\widehat{BCA}\) x 2 = 30 x 2 = 60°

- Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°
Ici,\(\widehat{BOA}\) +\(\widehat{BAO}\) +\(\widehat{ABO}\) = 180°
\(\widehat{ABO}\) = 180 - (\(\widehat{BOA}\) +\(\widehat{BAO}\))
\(\widehat{ABO}\) = 180 - (60 + 60)
\(\widehat{ABO}\) = 180 - 120 = 60°
Les trois angles du triangle OAB mesurent 60°. Le triangle est donc équilatéral.

- OAB est un triangle équilatéral. Alors ses côtés sont de même mesure.
AB = BO = OA
On sait que (AC) mesure 10 cm et que c'est un diamètre du cercle C de centre O.
(OA) est donc un rayon de ce cercle. Il mesure alors 5cm.
Puisque AB=BO=OA, et que OA=5cm, je peux conclure que AB=5cm.

4) Le triangle ABC est rectangle en B, je peux donc utiliser le théorème de Pythagore.
AC au carré = AB au carré + BC au carré
1O au carré = 5 au carré + BC au carré
100 = 25 + BC au carré.
BC au carré = 100 - 25
BC au carré = 75
BC = \(\sqrt{75}\)
BC environ égal à 8,7 cm.

Exercice n°2 :
1) Construire un hexagone ABCDEF de centre I inscrit dans un cercle de rayon 6cm.
2) Déterminer en justifiant chaque réponse les mesures des angles :
a-\(\widehat{AEB}\)
b-\(\widehat{AED}\)
c-\(\widehat{BAF}\)
3) Quelle est la nature du triangle ACE ? Justifier la réponse.

Mes réponses :
1) C'est fait.

2) L'angle au centre \(\widehat{I}\) = 360/6 = 60°
Je cherche l'angle \(\widehat{AEB}\)

-Chaque triangle de l'hexagone ABCDEF est équilatéral. Donc chaque angle mesure 60°
\(\widehat{ABE}\)
- Le côté (EB) du triangle ABE passe par le centre I de l'hexagone et du cercle. (EB) est donc un diamètre du cercle.
Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle.
Le triangle ABE est alors rectangle en A
-Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°
Donc \(\widehat{ABE}\) +\(\widehat{AEB}\) +\(\widehat{EAB}\) = 180°
\(\widehat{AEB}\) = 180 - (\(\widehat{ABE}\) +\(\widehat{EAB}\))
\(\widehat{ABE}\) = 180 - ( 60 + 90)
\(\widehat{AEB}\) = 180 - 150 = 30°

Je cherche l'angle \(\widehat{AED}\)

1ère possibilité :
Le côté (AD) du triangle AED passe pas le centre I de l'hexagone et du cercle. (AD) est donc un diamètre du cercle.
Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle.
Le triangle AED est donc rectangle en E. Par conséquent, l'angle \(\widehat{AED}\) mesure 90°

2ème possibilité :
Le triangle IDE est équilatéral. Chaque angle mesure alors 60°
Donc \(\widehat{IED}\) = 60°
\(\widehat{AED}\) =\(\widehat{AEB}\) +\(\widehat{IED}\)
\(\widehat{AED}\) = 30 + 60
\(\widehat{AED}\) = 90°

Je cherche l'angle \(\widehat{BAF}\)
\(\widehat{BAF}\) est un angle inscrit dans le cercle et l'angle au centre correspondant est l'angle FIB(le signe de l'angle est inversé mais je ne sais pas le faire en écriture TEX) car ils interceptent le grand arc FB.
L'angle FIB =\(\widehat{FIE}\) +\(\widehat{EID}\) +\(\widehat{DIC}\) +\(\widehat{CID}\) =
= 4 x 60=240
\(\widehat{BAF}\) = 1/2 FIB = 1/2 x 240 = 120°
\(\widehat{BAF}\) = 120°

3) L'angle inscrit \(\widehat{EAC}\) intercepte le même arc EC que l'angle au centre correspondant\(\widehat{EIC}\)
\(\widehat{EIC}\) =\(\widehat{EID}\) +\(\widehat{DIC}\)
\(\widehat{EIC}\) = 60 + 60 = 120°
Propriété : Dans un cercle, l'angle inscrit a la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
Ici,\(\widehat{EIC}\) et\(\widehat{EAB}\) interceptent le même arc EC.
\(\widehat{EIC}\) = 120° ; \(\widehat{EAC}\) = 1/2\(\widehat{EIC}\) ;\(\widehat{EAC}\) = 1/2 x 120 = 60°
De même pour l'angle inscrit \(\widehat{AEC}\) qui intercepte le même arc AC que l'angle au centre\(\widehat{AIC}\).
\(\widehat{AIC}\) =\(\widehat{AIB}\) +\(\widehat{BIC}\)
\(\widehat{AIC}\) = 60 + 60 = 120
\(\widehat{AEC}\) = 1/2\(\widehat{AIC}\) ; \(\widehat{AEC}\) = 1/2 x 120 = 60°

-Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°
Ici,\(\widehat{AEC}\) +\(\widehat{ACE}\) +\(\widehat{EAC}\) = 180°
\(\widehat{ACE}\) = 180 - (\(\widehat{AEC}\) +\(\widehat{EAC}\))
\(\widehat{ACE}\) = 180 - (60+60)
\(\widehat{ACE}\) = 180 - 120 = 60°
Tous les angles mesurent 60°, donc je peux conclure que le triangle ACE est équilatéral.

Exercice n°3 :

Sur la figure, C est un cercle de centre O et de rayon R.
A appartient à C, B appartient à C et M appartient à C
\(\widehat{AMB}\) = 30°
Le segment (NB) est un diamètre du cercle C.

1) Soit I le millieu du segment (AN). Montrer que les droites (OI) et (IN) sont perpendiculaires.
2) a- Montrer que AB = 2Rsin30°
b- On admet que sin30°= 1/2
Exprimer a longueur AN en fonction de R.

Pour cet exercice, je n'arrive pas à savoir comment faire pour montrer que les droites (OI) et (IN) sont perpendiculaires ...

Je suis désolé d'avoir fait un sujet aussi long, si vous ne parvenez pas à comprendre les exercices, je vous donne quand même le titre de mon livre de mathématiques. " Mathématiques collection Phare 3ème. " et c'est à la page 264.
Voila, je vous souhaite une bonne soirée et merci d'avance.
Emma

[SoS-Math(1)]

Bonjour Emma,
Il ne faut pas faire des sujets aussi longs.
Il faudrait que vous postiez un exercice par sujet: c'est préférable pour la lisibilité du forum.
De plus, ce forum est fait pour aider les élèves à faire leur travail et non à corriger tout un devoir maison: c'est votre professeur qui le fera.
J'ai quand même lu ce que vous avez fait.
Dans l'exercice 1, il y a un chemin plus simple puisque le triangle AOB est isocèle (AO=OB=5 cm) et que l'angle du sommet principal est égal à \(2\times~30\)°.
Dans l'exercice 2, il faut dire pourquoi [EB] est un diamètre du cercle: pensez à l'angle plat \(\widehat{EOB}\).
Pour l'exercice 3, quel est la nature du triangle OAN? (pensez à ON et OA) La droite (OI) est donc la médiane issue de O dans un triangle ...
A bientôt.

[Emma]

Bonjour,
Merci de m'avoir répondu.
Je ne vous demande en aucun cas de corriger mon devoir maison, mais j'avais juste quelques doutes sur mes pratiques car étant absente lors de la leçon, je ne savais pas si ce que j'avais fait était juste.
Pour l'exercice 3, je vais essayer de le faire suivant vos conseils. Je reviendrai si j'ai des problèmes.
Bonne journée
Emma

[Emma]

Re bonjour,
Pour l'exercice 1, si j'ai bien compris vos réponses, OAB n'est pas équilatéral comme je l'avais démontrer, mais isocèle ?
Pour l'exercice 2, j'ai compris, merci encore.
Pour l'exercice 3, j'ai aussi compris comment démontrer que les droites étaient perpendiculaires.
Par contre, je n'arrive pas à savoir quelle démarche faire pour la question " Montrer que AB = 2Rsin30° " car s'il y a sin30°, cela veut dire que je peux utiliser la trigonométrie mais je ne vois pas comment. Ne vous inquiétez pas, je ne vous demande pas de me donner les réponses !

Merci beaucoup et désolé de vous prendre du temps.
Emma

[SoS-Math(1)]

Bonjour Emma,
Pour l'exercice 1, votre solution est correcte. Je disais simplement qu'il était plus simple de commencer à démontrer que le triangle AOB est isocèle, puis de prouver qu'il est équilatéral.
Pour l'exercice 3, placez vous dans le triangle NAB rectangle en A (à démontrer).
Vous démontrerez que \(\widehat{AMB}=\widehat{ANB}\).
Il ne vous restera plus qu'à appliquer la bonne formule de trigonométrie dans le triangle ANB.
A Bientôt.

[Emma]

Bonjour,
Merci encore pour vos explications, mais ce que je ne comprend pas c'est que si un triangle est isocèle, il ne peut pas être équilatéral, si ?

Bonne fin de journée.
Emma

[SoS-Math(1)]

Bonjour Emma,
Un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier.
Donc ce que je vous ai dit est bien valable.
On commence par démontrer que le triangle a deux côtés de mêmes longueurs, donc il est isocèle.
Puis, on calcule ses angles pour démontrer qu'il est équilatéral.
A bientôt.

[Emma]

Bonjour,
Excusez moi de vous répondre si tard, j'ai fais tout mon devoir maison et il y a juste la dernière question de l'exercice 3 que je n'arrive pas à faire.
La question est : On admet que sin30° = 1/2
Exprimer la longueur AN en fonction de R

J'ai essayé de faire le cosinus mais cela me donne un résultat pour AN de environ 1,7 cm et je ne pense pas que ce soit le bon résultat.
Merci encore et bonne journée.
Emma

[sos-math(19)]

Bonsoir Emma,

Pour l'exercice 3, à la question 2a, tu as établi que \(AB=2R\sin30\).
Pour la question 2b, tu admets que \(\sin30=\frac{1}{2}\). En reportant dans l'égalité précédente, tu obtiens la valeur de AB.
Il n'y a plus qu'à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle ANB rectangle en A, pour en déduire AN.

Bon courage.

[Emma]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.
j'ai compris votre aide, mais si je reporte 1/2 dans l'égalité AB = 2Rsin30°, cela fait AB = 2 x R x 1/2 et sauf si je me trompe, je ne connais pas le rayon ni le diamètre du cercle ...
Merci encore, je suis désolé de vous prendre du temps.
Bonne journée.
Emma

[sos-math(19)]

Bonsoir Emma,

On a bien AB = R après simplification.
Il ne faut surtout pas remplacer R par un nombre.
L'énoncé précise bien qu'il faut calculer AN en fonction de R.
Tu appliques le théorème de Pythagore et tu n'oublies pas de simplifier le résultat en utilisant les propriétés des racines carrées.

Bonne fin d'exercice.

[Emma]

Bonsoir,
Merci pour votre réponse.
J'ai donc trouvé grâce au théorème de Pythagore l'égalité suivante :
NBau carré = NA au carré + R au carré
Seulement, pour utiliser les racines carrées je ne dois plus avoir de NA au carré ni de R au carré, si ?
Car après, je connais la propriété mais là je n'arrive pas à comprendre comment faire.
Je pense que ma difficulté est causée par le fait qu'il n'y ait pas de nombre.
Merci encore.
Bonne soirée.
Emma

[sos-math(19)]

Bonsoir Emma,

En effet, le théorème de Pythagore permet d'écrire : NB² = AN² + AB² et comme NB = 2R et AB = R,
il vient (2R)² = AN² + R².

De là, tu sors AN², puis AN en fonction de R. C'est du calcul littéral : tu travailles avec la lettre R comme s'il s'agissait d'un nombre.

Bonne continuation.

[Emma]

Bonsoir et merci pour votre réponse si rapide.
J'en suis à l'égalité : NBau carré = NA au carré + R au carré
Je ne comprend pas trop, je vais essayer de travailler selon votre conseil.
Donc si je sors NA et que je le mets en fonction de R, cela fait : NA au carré = NB au carré - R au carré
NA au carré = (2 x R )au carré - R au carré
NA au carré = (2 x R)(2 x R) - R x R
NA au carré = 2 x 2 + 2 x R + R x 2 + R x R
NA au carré = 4 + 2R + 2R + R au carré
NA au carré = R au carré + 4R + 4 = (R + 2) au carré
J'ai essayé mais je pense que ce que j'ai fait est faux car le résultat me semble bizarre. Je n'arrive pas à comprendre comment faire autrement pour travailler en fonction de R, comme est la consigne.
Merci encore pour ce que vous faites, cela me permet de comprendre beaucoup de choses.
Bonne soirée.
Emma

[sos-math(19)]

Bonsoir Emma,

NA au carré = 2 x 2 + 2 x R + R x 2 + R x R

Il y a une erreur de calcul dans cette ligne.

Tu as appris que \((a\times{b})^2=a^2\times{b^2}\), donc \((2R)^2=2^2\times{R^2}\), soit \((2R)^2=4R^2\).

Tu peux maintenant corriger la suite du calcul.

A bientôt.