Exercices ( DM sur Thalès et aires )

[Key]

Bonjour !
J'ai beaucoup de problème sur cette exercice.

Les trois parties de ce problème sont indépendantes.

Deux frères ont hérité d'un terrain que l'on peut assimiler à un triangle ABC rectangle en B.

L'aire de ce terrain est égale à 2400 m².

Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles de même aire, soit 1200 m² par parcelle.

Pour cela, on partage le terrain selon un segment [MN] , M et N étant respectivement sur les côtés [CB] et [CA]. Les droites (MN) et (AB) sont parallèles.

Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le mètre. On donne : AB = 60 et BC = 80.

PARTIE A
Dans cette partie, CM = 50.

1)Justifier que MN = 37,5.
On sait que les points C,N,A et C, M, B sont alignés (sur deux droites sécantes ) et (MN) // (AB). D'après le thm. de Thalès :
CN/CA = CM/CB = NM/AB
CN/CA = 50/80 = NM /60
NM = (50*60) / 80 = 37,5 m.

2)Comparer les aires du triangle CMN et du trapèze ANMB après les avoir calculées.
-Aire CMN = (MN*MC) / 2 = 937,5 cm²
-Aire ANMB = Aire ABC - Aire CMN OU Aire ANMB = (AB + NM)/2 *BM
= 2400 - 937,5 = (60+37,5)/2 * 30
= 1462,5 cm² = 1462,5 cm²

3)Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point M à plus de 50 m de C ou à moins de 50 m de C ? Justifier rapidement.
Pour que les deux aires soient égales, il faut placer le point M à plus de 50 m de C car (par pure logique) si le coté MC est plus long (que 50 m) l'aire du triangle CMN sera plus grande.

PARTIE B
On veut déterminer la distance CM pour laquelle l'aire du triangle CNM est égale à 1200 m².

On pose CM = x.

1)Démontrer que MN = 3/4 x
On sait que les points C,N,A et C, M, B sont alignés (sur deux droites sécantes ) et (MN) // (AB). D'après le thm. de Thalès :
CN/CA = CM/CB = NM/AB
CN/CA = X /80 = NM /60
MN = 60 X /80 = 3/4 X

2)Démontrer sur l'aire du triangle CMN, exprimée en m², a pour mesure 3/8 x².
On utilisera sans justifier le fait que CNM est rectangle en M.
Aire CNM = [X(3/4X)] / 2 = 3/4 X² / 2 = 3/8 X²

3)On a représenté au dos de la feuille d'aire du triangle CMN en fonction de x (lorsque x varie entre 0 e 80).

a) L'aire du triangle CMN est-t-elle proportionnelle à la longueur x ? Justifier uniquement à l'aide du graphique.
L'aire du triangle CMN n'est pas proportionnelle à la longueur x car la courbe su graphique n'est pas une droite passant par l'origine.

b) A l'aide cette courbe, déterminer ou il faut placer le point M pour que les deux parcelles aient la même aire : on donnera une valeur approchée, on indiquera les pointillées utiles sur le graphique, sans oublier une phrase de conclusion.
x environ égal à 56 m.
( Les pointillées ont été fait sur le graphique ci-dessous.)
Pour que les deux parcelles soient de la même aire , il faut donc placer le point M à environ 56 m (du point C).

c) En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de x pour laquelle les deux parcelles ont la même aire.
( Je ne parvient pas à trouver l'équation en question.)

d) En déduire la valeur exacte de la longueur MN du muret puis donner une valeur approchée au dm près de MN.


PARTIE C
1)Le muret est construit avec des briquettes de 20 cm de longueur et de 10 cm de hauteur.
Calculer le nombre de briquettes nécessaires à la construction de ce muret de 42,40 m de longueur et de 1m de hauteur.
Aire briquette = 20*10 = 200 cm²
Aire muret = 42,40 * 1 = 42,40 m² = 424000 cm²
424000 / 200 = 2120
La construction d'un muret nécessite 2120 briquettes.

2)Sachant que 20 briquettes coûtent 35 €, calculer le coût du muret.
2120 / 200 = 106
106 * 35 = 3710
Le coût du muret est de 3710 €.

Pouvez-vous me corriger si mes résultat sont faux ?
Je vous en remercie !
A bientôt.

[SoS-Math(8)]

Bonjour Key,

Les résultats sont exacts.

Pour ta question qui te pose problème:
Tu as calculé l'aire de MNC en fonction de x:\(\frac{3}{8}x^2\)
Il faut donc que cette aire soit égale à 1200.
Tu as donc l'équation........ à résoudre.

SoS-Math(8).

[Key]

Bonsoir !

L'équation est : 3/8 x^2 = 1200
x^2 = 1200 : 3/8
x^2 = 1200 * 8/3
x^2 = 3200
? = ??

Comment obtenir x = ? au lieu d'avoir un x^2.

Merci !

[SoS-Math(8)]

As-tu travaillé sur les racines carrées ?

Sinon il faudra trouver une autre façon de procéder...

[Kallie]

Oui !

Je me souvient avoir déjà résolu ce type d'équation mais je ne retrouva pas l'exercice en question.
Mais je ne m'en souvient pas très bien. ( J'en suis désolé ! )

[SoS-Math(8)]

Petit rappel...

Si a>0, alors l'équation X²=a admet 2 solutions: \(-\sqrt{a}\) et \(\sqrt{a}\).
A adapter avec ta question.

[Key]

Donc il faut que je fasse passer de ^2 des l'autre coté du signe égale ? Comme cela ?

X² 3/8 x² = 1200

3 x² = 8 * 1200

3 x² = 9600

x² = 3200

x = \(\sqrt{3200}\)

x = 40\(\sqrt{2}\)

[sos-math(19)]

Bonsoir Key,

Donc il faut que je fasse passer de ^2 des l'autre coté du signe égale ? Comme cela ?

Cette manipulation ne correspond à aucune règle mathématique.

X² 3/8 x² = 1200

Que signifie ce X² au début de l'équation ?

3 x² = 8 * 1200

3 x² = 9600

x² = 3200

Tu avais déjà obtenu cela.

x = \sqrt{3200}

x = 40\sqrt{2}

Tu n'as pas vraiment tenu compte du message de sos-math(8) :

Si a>0, alors l'équation X²=a admet 2 solutions: -\sqrt{a} et \sqrt{a}.
A adapter avec ta question.

Il y a deux solutions opposées à ton équation. Il faut le dire et expliquer pourquoi tu rejettes la solution négative.

Tu devrais achever la partie B sans difficulté.

Bonne continuation.

sos-math

[Key]

Bonsoir !

Alors pour l'équation :
3/8 x² = 1200
x² = 1200/ (3/8)
x² = 3200

On sait que x varie entre 0 et 80 donc x > 0.
Or si a > 0, l'équation x² = a a deux solutions x = \(\sqrt{a}\) et x = \(-\sqrt{a}\)
Donc x² = a ou -a. ( mais comment justifier le choix du positif ? )

x = \(\sqrt{3200}\)
x = 40\sqrt{2}


d) On sait que MN = 3/4 x et x= 40\(\sqrt{2}\) donc :
MN = 3/4 x * 40\(\sqrt{2}\)
= 30\(\sqrt{2}\)
MN (environ) = 42,4 dm

[sos-math(19)]

Bonsoir Key,

Bravo, c'est très bien.

Seule la solution positive nous intéresse parce que x représente une longueur.

A bientôt.

sos-math

[Key]

Merci infiniment pour votre aide !
Je vous en suis très reconnaissante.
A bientôt !