Dm de maths pour le 22/01 (3e)

[Baptiste]

Bonjour ,
Je ne comprend pas l'exercice suivant (démontrer que racine de 2 est irrationnel en raisonnant par l'absurde) :

"On veut démontrer que racine de 2 est un nombre irrationnel , c'est a dire un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers .
Pour cela , on raisonne par l'absurde :on suppose que racine de 2 est un nombre rationnel et on montre qu'on aboutit a une conclusion qui contredit l'hypothèse ; on en déduit alors que l'hypothèse est fausse .

Hypothèse: Racine de 2 est rationnel c'est a dire il existe deux entiers positifs a et b, avec b non égal a 0 ,premiers entre eux et tels que : racine de 2 = a sur b.

1) Que vaut a² sur b² ?
Exprimer a² en fonction de b² .

2) En deduire que a² puis que a est un nombre pair .

3) a étant pair, il existe un entier "n" non nul et tel que a = 2n. Exprimer a² puis b² en fonction de n .

4) Que peut on en déduire pour b² ? pour b ?


5) Conclure .

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Commençons par la première question.
On suppose que \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), où a et b sont deux entiers premiers entre eux, avec b non-nul.
Que vaut \(\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{a}{b}\right)^2\)?
A bientôt.

[Baptiste]

Comment calculer a² sur b² =(a sur b)² ?

[Baptiste]

Bonjour,
Je n'ai pas compris se que je dois faire ...

[SoS-Math(1)]

Bonjour Baptiste,
Vous savez que \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), donc \(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a}{b}\times~\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}=\dots\).
A bientôt.