SOS-MATH

Courbes de niveau M->AM/BM

Soient A et B deux points du plan, et \(\lambda\) \(\in\) \(\mathbb{R}\)*+.
L'objet de cet exercice est l'etude des lignes de niveau de
la fonction M->AM/BM
On notera donc E\(\lambda\) l'ensemble {M \(\in\) P | AM/BM=\(\lambda\)}

1. Décrire E1.

2. On suppose dans le reste de l'exercice que \(\lambda\) \(\neq\) 1. Montrer que pour tout M \(\in\) P privée de {B}, M \(\in\) P \(\Longleftrightarrow\) (\(\vec{AM}\)-\(\vec{BM}\))(\(\vec{AM}\)+\(\vec{BM}\))=0.

3. En déduire qu'il existe deux points G1 et G2, que l'on déterminera en fonction de A, B et \(\lambda\) , tels que pour tout M \(\in\) P privée de {B}, M \(\in\) \(\vec{G_1M}\) . \(\vec{G_2M}\) = 0 .

4. En déduire E\(\lambda\).

5. Exprimer le milieu I de [G1;G2] comme un barycentre de A et B ; exprimer le rayon r de E\(\lambda\) en fonction de \(\lambda\) et AB.

6. Une propriétés des E\(\lambda\).

(a) Soient deux cercles C1 et C2, de centres respectifs O1 et O2, et de rayons respectifs r1 et r2. Ces deux cercles sont dits orthogonaux s'il s'intersectent en deux points, et si aux points d'intersection, les tangentes aux deux cercles sont orthogonales. Rappeler la condition nécessaire et suffisante sur O1O2, r1 et r2 pour que ces deux cercles aient deux intersections, puis montrer que C1 et C2 sont orthogonaux ssi r²1+r²2=O1O2²

(b) Montrer que les E\(\lambda\) (avec \(\lambda\) \(\neq\) 1) sont tous orthogonaux au cercle de diamètre [AB].

Je vous remercie de bien vouloir m'aider. Je suis arrivée à faire la question 1 et 2 mais après je bloque.

Merci et Vive les maths !!

Bonjour Guillaume,

Un petit rappel, on commence les messages par saluer, ensuite, il me semble peu probable que cet exercice soit dans le forum de sixième.

Pour la question 2 il doit y avoir une erreur d'énoncé, sinon cela n'a pas de sens.

Pour la question 3, compte tenu de l'interprétation que je fais de la question 2, on peut envisager G1 barycentre de A et de B avec des coefficients astucieusement choisis, de même pour G2. Ensuite il suffit de décomposer.
La question 4 en découle immédiatement.
La question 5 : il faut reprendre la question 2 et décomposer les égalités qui définissent G1 et G2 en faisant intervenir le point I.
Le rayon est IG2, dontt on peut exprimer le carré en fonction des carrés de IA et de IB puis penser que \(IA^2=IB^2=\frac{AB^2}{4}\).

Pour la question 6 il faut savoir que la tangente et le rayon correspondant sont perpendiculaire et utiliser le théorème de Pythagore, ensuite ce n'est que du calcul.

Bon courage.