par Jean » sam. 30 déc. 2023 19:29
Bonjour à tous j'envoi ce message car je n'ai pas compris une partie du corrigé, si quelqu'un pouvait éclaircir ce la pour moi svp?
Exo:
NOMBRES DE MERSENNE
a. Soit \(a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*\).
Montrer que :
$$
a^n-1=(a-1) \times\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right) \text {. }
$$
b. Soit n et a deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 .
Démontrer que si \(a^n-1\) est premier, alors \(a=2\) et \(n\) est premier.
c. On appelle nombre de Mersenne, tout nombre de la forme \(2^p-1\) avec p premier, on le note M_p
Les nombres \(M_2, M_3, M_5, M_7, M_{11}\) sont-ils premiers?
Corrigé
1a) On reconnait la suite géométrique de raison a.
a^n-1 =(a-1)(a^n-1 + ....+a+1)
b. Soit \(a \in \mathbb{N}, a \geqslant 2 \: et \: n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2. On a :a-1 \geqslant 1\). Or :
\(a^n-1=(a-1)\left(a^{n-1}+\ldots+a^2+a+1\right) \text { et } 1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}>1\)
Donc si $a^n-1$ est premier, a-1=1, donc a=2.(je j'ai pas compris comment on est passé de l'inégalité à l'égalité a=2)
a-1>=1 au a=2 , on a a^n-1>1 ok mais ce n'est pas non plus une égalité
Bonjour à tous j'envoi ce message car je n'ai pas compris une [color=#4040FF]partie du corrigé[/color], si quelqu'un pouvait éclaircir ce la pour moi svp?
Exo:
NOMBRES DE MERSENNE
a. Soit [TeX]a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*[/TeX].
Montrer que :
$$
a^n-1=(a-1) \times\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right) \text {. }
$$
b. Soit n et a deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 .
Démontrer que si [TeX]a^n-1[/TeX] est premier, alors [TeX]a=2[/TeX] et [TeX]n[/TeX] est premier.
c. On appelle nombre de Mersenne, tout nombre de la forme [TeX]2^p-1[/TeX] avec p premier, on le note M_p
Les nombres [TeX]M_2, M_3, M_5, M_7, M_{11}[/TeX] sont-ils premiers?
Corrigé
1a) On reconnait la suite géométrique de raison a.
a^n-1 =(a-1)(a^n-1 + ....+a+1)
b. Soit [TeX]a \in \mathbb{N}, a \geqslant 2 \: et \: n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2. On a :a-1 \geqslant 1[/TeX]. Or :
[TeX]a^n-1=(a-1)\left(a^{n-1}+\ldots+a^2+a+1\right) \text { et } 1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}>1[/TeX]
[color=#4040FF]Donc si $a^n-1$ est premier, a-1=1, donc a=2.(je j'ai pas compris comment on est passé de l'inégalité à l'égalité a=2)
[/color]
a-1>=1 au a=2 , on a a^n-1>1 ok mais ce n'est pas non plus une égalité