par sos-math(21) » jeu. 28 nov. 2019 21:28
Bonjour,
ton hypothèse de récurrence est correcte mais ton hérédité ne fonctionne pas : il faudrait avoir \((n+1)!\geqslant n+1\) et pas \(n!+1\geqslant n+1\)
Donc il faut que tu partes de l'hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un entier \(n\) tel que \(n!\geqslant n\).
Il faut trouver un lien entre le rang et le rang \(n+1\) : tu as \((n+1)!=\underbrace{1\times 2\times \ldots \times n}_{n!}\times (n+1)=n!\times (n+1)\)
Donc en multipliant les deux membres de l'inégalité par \((n+1)\), tu as : \(n!\times (n+1)\geqslant n(n+1)\). Comme \(n\geqslant 1\), en multipliant les deux membres de l'inégalité par \(n+1\) qui est positif, l'inégalité est conservée et on a :
\(n\times (n+1)\geqslant 1\times (n+1)\) d'où l'inégalité \(n(n+1)\geqslant n+1\).
Au final, en reprenant le début du calcul, on a bien \((n+1)!\geqslant n+1\), ce qui traduit que l'inégalité est vraie au rang n+1.
Bonne continuation
Bonjour,
ton hypothèse de récurrence est correcte mais ton hérédité ne fonctionne pas : il faudrait avoir \((n+1)!\geqslant n+1\) et pas \(n!+1\geqslant n+1\)
Donc il faut que tu partes de l'hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un entier \(n\) tel que \(n!\geqslant n\).
Il faut trouver un lien entre le rang et le rang \(n+1\) : tu as \((n+1)!=\underbrace{1\times 2\times \ldots \times n}_{n!}\times (n+1)=n!\times (n+1)\)
Donc en multipliant les deux membres de l'inégalité par \((n+1)\), tu as : \(n!\times (n+1)\geqslant n(n+1)\). Comme \(n\geqslant 1\), en multipliant les deux membres de l'inégalité par \(n+1\) qui est positif, l'inégalité est conservée et on a :
\(n\times (n+1)\geqslant 1\times (n+1)\) d'où l'inégalité \(n(n+1)\geqslant n+1\).
Au final, en reprenant le début du calcul, on a bien \((n+1)!\geqslant n+1\), ce qui traduit que l'inégalité est vraie au rang n+1.
Bonne continuation