Bonjour,
êtes vous sûr(e) que l'on parle de l'intervalle \([-1\,;\,1]\) ? Cela ne semble pas cohérent pour une solution d'équation...
Je penserai plutôt à \(\left\lbrace -1\,;\,1\right\rbrace\) et donc remplacer \(x\) par -1 puis par 1 :
- si \(x=1\) est une solution, on a \(1=p+q\)
- si \(x=-1\), est une solution, on a \(-1=-p+q\)
En additionnant, on a \(q=0\) et \(p=1\)
Par ailleurs, votre argument :
0=0+q or ce n'est pas possible car q est ajouté or n'importe quel nombre ajouté à 0 hormis lui même est différent de 0
n'est pas correct puisque \(q=0\) permet d'avoir une égalité vraie : \(p\) et \(q\) sont des nombres réels sans qu'il n'y ait aucune condition sur eux, donc ils peuvent valoir 0.
Pour le reste, il faut effectivement calculer le cube de \(X\) et voir s'il est égal à \(pX+q\).
Pour faciliter le travail, on vous a fait développer le cube d'une somme \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = a^3+(a+b)\times 3ab+b^3\)
Si vous remplacez \(a\) par \(\sqrt[3]{\dfrac{q}{2}+\sqrt{D}}\) et \(b\) par \(\sqrt[3]{\dfrac{q}{2}-\sqrt{D}}\), cela doit fonctionner mais prenez bien la forme que je vous propose à la fin du développement du cube.
J'ai tout de même un doute sur l'expression de \(D\) : pouvez-vous vérifier ?
Bon calcul