par SoS-Math(7) » mar. 19 mars 2019 22:51
Bonsoir Antoine,
\((-1)\) est une racine du polynôme. En effet, \((-1)^3a+(-1)^2b+(-1)b+a=-a+b-b+a=0\). Du coup, le polynôme est factorisable par \((X-(-1))\) soit par \((X+1)\).
Pour l'autre facteur, tu sais qu'il sera de degré 2, il est donc de la forme \(mX^2+nX+p\).
\(aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(mX^2+nX+p)=mX^3+nX^2+pX+mX^2+nX+p\)
\(aX^3+bX^2+bX+a=mX^3+(n+m)X^2+(p+n)X+p\)
On identifie les coefficients des deux formes du polynôme (on connait \(a\) et \(b\) et on cherche \(m\), \(n\) et \(p\))
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}
m &=&a \\
n+m &=& b \\
p+n&= &b \\
p&=&a
\end{array}\right. \iff
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
m &=&a \\
n&=& b-a \\
p&=&a \\
n&= &b -a
\end{array}\right.\)
Finalement on a la factorisation : \(aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X+a)\)
Bonne continuation.
Bonsoir Antoine,
[tex](-1)[/tex] est une racine du polynôme. En effet, [tex](-1)^3a+(-1)^2b+(-1)b+a=-a+b-b+a=0[/tex]. Du coup, le polynôme est factorisable par [tex](X-(-1))[/tex] soit par [tex](X+1)[/tex].
Pour l'autre facteur, tu sais qu'il sera de degré 2, il est donc de la forme [tex]mX^2+nX+p[/tex].
[tex]aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(mX^2+nX+p)=mX^3+nX^2+pX+mX^2+nX+p[/tex]
[tex]aX^3+bX^2+bX+a=mX^3+(n+m)X^2+(p+n)X+p[/tex]
On identifie les coefficients des deux formes du polynôme (on connait [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] et on cherche [tex]m[/tex], [tex]n[/tex] et [tex]p[/tex])
[tex]\left\lbrace\begin{array}{rcl}
m &=&a \\
n+m &=& b \\
p+n&= &b \\
p&=&a
\end{array}\right. \iff
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
m &=&a \\
n&=& b-a \\
p&=&a \\
n&= &b -a
\end{array}\right.[/tex]
Finalement on a la factorisation : [tex]aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X+a)[/tex]
Bonne continuation.
