Intégrales

par **SoS-Math(9)** » sam. 26 mai 2018 14:16

Bonjour Thomas,

ce que tu as fait est bien … sauf la conclusion !
Tu as montrer que \(\lim_{n \to +\infty} ln(2) - u_n = 0\) et non \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\) ...

SoSMath.

par **Thomas** » sam. 26 mai 2018 09:57

Je pense avoir fini l'exercice, mais je ne suis pas sûr de ma réponse et de mon raisonnement.
Pouvez-vous m'éclairer ?

par **SoS-Math(34)** » sam. 26 mai 2018 08:52

Bonjour,

C'est bien. Dans ta dernière ligne, il manque lesymbole intégrale dans le membre situé au milieu de l'encadrement.
Calcule maintenant les bornes A et C de ton encadrement A < B < C.
Tu as trouvé les bonnes primitives, utilise-les, calcule F(1) - F(0) dans chaque cas.

Le théorème d'encadrement pour les limites permettra de conclure.

Sosmaths

par **Thomas** » ven. 25 mai 2018 23:47

Bonjour,

Je ne suis pas sûr d'avoir totalement compris vos remarques,
Voici ce que j'ai fait, mais je ne vois pas comment continuer.

Merci d'avance de votre réponse.

par **SoS-Math(34)** » ven. 25 mai 2018 23:03

Bonjour Thomas,

Il te reste à encadrer f(x) en multipliant chaque terme de ton inégalité par le numérateur de f(x).
Reste à savoir le signe de ce numérateur sur [0;1] pour en déduire si les inégalités changent de sens.

ensuite, tu auras un encadrement i(x)=< f(x) )< g(x) avec i et g qui sont deux fonctions relativement simples (dans le sens où tu peux en calculer facilement une primitive)
L'intégrale conservant l'ordre des inégalités, l'encadrement (*) est valable pour les intégrales des trois fonctions.
Tu obtiendras donc un encadrement de l'intégrale de f sur [0;1].

Il restera à calculer la limite quand n tend vers +inf des intégrales de i et de g...
un fameux théorème sur les limites permettra d'en déduire celle de l'intégrale de f sur [0;1]

somaths

par **Thomas** » ven. 25 mai 2018 17:12

Bonjour,

J'ai réussi à trouver entre quel nombre et quel nombre est compris l'inverse de f(x).
Je n'ai pas compris l'objectif à atteindre, la dernière phrase que vous avez écrite. Pouvez-vous la reformuler ?

Merci d'avance.

par **SoS-Math(34)** » jeu. 24 mai 2018 21:47

Attention:
x est compris entre 0 et 1 donc 1+x est compris entre 1 e 2.
de même, 1 + x + x^n est compris entre 1 et 3.
donc (1+x)(1+x+x^n) est compris entre 1*1 = 1 et 2*3 = 6
donc les inverses f(x) sont compris entre...

L'objectif est de trouver un nombre plus petit que le dénominateur pour trouver un réel plus grand que l'inverse de ce dénominateur.

bonne recherche
sosmaths

par **Thomas** » mer. 23 mai 2018 19:56

Je ne suis pas très sûr :

( 1 + X ) * ( 1 + X + X^n) <= 5
Donc f(x) < 1/5.

Je ne pense pas que ce soit correct.
Merci de vos explications.

par **SoS-Math(34)** » mer. 23 mai 2018 18:08

Minorer la fonction f sur I signifie chercher un nombre m plus petit que toutes les images f(x) sur l'intervalle I
m est tel que f(x) >= m pour tout réel x.

Majorer f(x)... tu peux donc deviner.

Pour majorer une fonction de forme 1/u, on peut commencer par minorer le dénominateur.
exemple : si f(x) = 1/(x² + 2) sur IR.
pour tout réel x, x²>=0 donc x² + 2 > = 2
or la fonction inverse est décroissante sur [2;+inf[ donc 1/(x² + 2) =< 1/2 sur cet intervalle soit f(x) =<1/2.

Il te reste de la même façon à trouver un nombre très simple m tel que (x+1)(1+x+x^n) >= m pour tout x de [0;1]

Bonne recherche,
Sosmaths

par **Thomas** » mer. 23 mai 2018 18:00

Désolé, mais je ne vois absolument ce que veut dire minorer le dénominateur.
Pouvez-vous expliquer avec plus de détails.
Merci d'avance.

par **SoS-Math(34)** » mer. 23 mai 2018 17:37

Cette dernière étape est difficile car on ne connaît pas de primitive de la fonction h située sous le symbole intégrale.
Il faut donc procéder différemment, en trouvant une fonction plus simple à laquelle se raccrocher.
la valeur absolue de ton intégrale est inférieur ou égale à l'intégrale de la valeur absolue de h(x).
Il te reste à majorer h(x), pour cela, vu que x est dans l'intervalle [0;1], je te propose de minorer le dénominateur
(1+x)(1+x+x^n).

Bonne recherche
sosmaths

par **Thomas** » mer. 23 mai 2018 13:50

Bonjour,

J'ai essayé de suivre vos remarques, mais je n'ai pas pu finir. Je n'ai pas trouvé la limite et je ne suis pas sûr pour mon expression.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance de vos nouvelles explications.

par **SoS-Math(34)** » mer. 23 mai 2018 12:29

Bonjour Thomas,

Il y a plusieurs façons d'écrire ln 2 sous forme d'une intégrale. Celle que tu as choisi est correcte mais ne va pas te permettre d'avancer.
Rester sur l'intervalle [0;1] est la bonne piste.
Maintenant, il faudrait intégrer une fonction h dont l'expression h(x) est "proche" de 1/(1+x+x^n) mais indépendante de n (puisque ln 2 ne dépend pas de n)...

Je te laisse y réfléchir,
Bonne recherche

Sosmaths

par **Thomas** » lun. 21 mai 2018 09:24

Bonjour,

Je pense avoir suivi vos conseils, mais je n'arrive pas à répondre la question 3.
Pouvez-vous m'aider.
Merci d'avance.

par **SoS-Math(34)** » dim. 20 mai 2018 23:17

Bonsoir Thomas,

Le début de ton calcul est juste. A la dernière ligne par contre , il manque l'inégalité...
Calcule alors la première intégrale...
Pour rappel, A - B > 0 équivaut à A > B.

Bonne recherche
Sosmaths

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