par sos-math(21) » sam. 6 avr. 2024 09:01
Bonjour,
la question portant sur les chiffres d'un entier, on peut penser à un critère qui utilise les chiffres d'un entier : la preuve par 3.
Si ton égalité est vraie dans les entiers naturels, alors elle reste vraie modulo 3 (attention la réciproque n'est pas vraie !)
Or dans la congruence modulo 3, un entier est congru à la somme de ses chiffres, ce qui signifie que l'on aura :
\(9a2984776\equiv 9+a+\ldots+6\equiv a+52\equiv a+ 1 \,[3]\)
\(107a976236\equiv 1+0+7+a+\ldots+6\equiv a+41\equiv a+ 2\,[3]\)
et \(978697983701783136\equiv 9+7+\ldots+3+6\equiv 102\equiv 0\,[3]\)
Donc on l'égalité initiale donne l'égalité \((a+1)(a+2)\equiv 0\,[3]\).
Ce qui entraine que \(a+1\equiv 0 \,[3]\) ou bien \(a+2\equiv 0 \,[3]\) donc soit \(a=2\), soit \(a=1\).
Note bien que l'on n'a pas des équivalences donc on a juste obtenu des conditions nécessaires sur \(a\). Il faut ensuite voir si les candidats \(a=1\) ou \(a=2\) fonctionnent. En testant, on se rend compte que seulement \(a=1\) rend l'égalité vraie dans les entiers naturels.
Bonne continuation
Bonjour,
la question portant sur les chiffres d'un entier, on peut penser à un critère qui utilise les chiffres d'un entier : la preuve par 3.
Si ton égalité est vraie dans les entiers naturels, alors elle reste vraie modulo 3 (attention la réciproque n'est pas vraie !)
Or dans la congruence modulo 3, un entier est congru à la somme de ses chiffres, ce qui signifie que l'on aura :
\(9a2984776\equiv 9+a+\ldots+6\equiv a+52\equiv a+ 1 \,[3]\)
\(107a976236\equiv 1+0+7+a+\ldots+6\equiv a+41\equiv a+ 2\,[3]\)
et \(978697983701783136\equiv 9+7+\ldots+3+6\equiv 102\equiv 0\,[3]\)
Donc on l'égalité initiale donne l'égalité \((a+1)(a+2)\equiv 0\,[3]\).
Ce qui entraine que \(a+1\equiv 0 \,[3]\) ou bien \(a+2\equiv 0 \,[3]\) donc soit \(a=2\), soit \(a=1\).
Note bien que l'on n'a pas des équivalences donc on a juste obtenu des conditions nécessaires sur \(a\). Il faut ensuite voir si les candidats \(a=1\) ou \(a=2\) fonctionnent. En testant, on se rend compte que seulement \(a=1\) rend l'égalité vraie dans les entiers naturels.
Bonne continuation