par sos-math(21) » lun. 29 janv. 2024 17:00
Bonjour,
en passant aux limites, tu as \(\lim_{n\to +\infty} 1=\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac{1}{n}=1\)
Donc par application du théorème des gendarmes à l'inégalité : \(1\leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\leqslant 1+\dfrac{1}{n}\), tu obtiens que la suite \((u_n)_{\geqslant 1}\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) par \(u_n= \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\) est convergente et converge vers 1.
Par suite, tu en déduis, par composition des limites, que la suite \(v_n\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) par \(v_n=\dfrac{\mathrm{e}}{u_n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) est convergente et sa limite vaut \(\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}}{u_n}=\dfrac{\mathrm{e}}{\lim_{n\to+\infty}u_n}=\mathrm{e}\).
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
en passant aux limites, tu as \(\lim_{n\to +\infty} 1=\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac{1}{n}=1\)
Donc par application du théorème des gendarmes à l'inégalité : \(1\leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\leqslant 1+\dfrac{1}{n}\), tu obtiens que la suite \((u_n)_{\geqslant 1}\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) par \(u_n= \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\) est convergente et converge vers 1.
Par suite, tu en déduis, par composition des limites, que la suite \(v_n\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) par \(v_n=\dfrac{\mathrm{e}}{u_n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) est convergente et sa limite vaut \(\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}}{u_n}=\dfrac{\mathrm{e}}{\lim_{n\to+\infty}u_n}=\mathrm{e}\).
Est-ce plus clair ?