par sos-math(21) » ven. 26 janv. 2024 11:53
Bonjour,
Ta suite est bien définie par récurrence pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), \(U_{n+1}=\dfrac{(n+1)U_n}{2n}\) ?
Pour ta récurrence je ne comprends pas pourquoi tu supposes que \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie car c'est ce que tu veux montrer.
Il faudrait plutôt partir de l'hypothèse que \(\mathcal{P}_n\) est vraie, c'est-à-dire que \(0<U_{n+1}<U_n\) et montrer la même inégalité au rang \(n+1\).
D'après l'hypothèse de récurrence, \(U_{n+1}>0\) et \(U_{n+2}=\dfrac{(n+2)U_{n+1}}{2(n+1)}\) comme produit et quotient de nombres strictement positifs est un nombre positif.
Ensuite, pour l'ordre sur les deux termes consécutifs, je te conseille de former la différence \(U_{n+2}-U_{n+1}\) et de déterminer son signe.
Bonne continuation
Bonjour,
Ta suite est bien définie par récurrence pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), \(U_{n+1}=\dfrac{(n+1)U_n}{2n}\) ?
Pour ta récurrence je ne comprends pas pourquoi tu supposes que \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie car c'est ce que tu veux montrer.
Il faudrait plutôt partir de l'hypothèse que \(\mathcal{P}_n\) est vraie, c'est-à-dire que \(0<U_{n+1}<U_n\) et montrer la même inégalité au rang \(n+1\).
D'après l'hypothèse de récurrence, \(U_{n+1}>0\) et \(U_{n+2}=\dfrac{(n+2)U_{n+1}}{2(n+1)}\) comme produit et quotient de nombres strictement positifs est un nombre positif.
Ensuite, pour l'ordre sur les deux termes consécutifs, je te conseille de former la différence \(U_{n+2}-U_{n+1}\) et de déterminer son signe.
Bonne continuation