par sos-math(21) » jeu. 16 nov. 2023 22:49
Bonjour,
ta fonction \(x\mapsto \dfrac{1}{\cos^2(x)}\) n'est pas monotone sur les intervalles où elle est définie.
Téléchargez la figure ici.
D'ailleurs, la fonction tangente n'étant pas définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier, tu devrais avoir des restrictions sur les intervalles \([a\,;\,b]\) sur lesquels tu vas appliquer l'inégalité des accroissements finis. Que te dit-on sur les réels \(a\) et \(b\) pour cette question ?
Pour la deuxième, tu appliques l'inégalité des accroissements finis à la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) sur l'intervalle \([a\,;\,a+1]\), avec \(a>0\).
La dérivée de cette fonction est \(x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) qui est strictement décroissante sur \([a\,;\,a+1]\) donc pour tout réel \(x\) de cet intervalle \(\dfrac{1}{2\sqrt{a+1}}<f'(x)<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Je te laisse conclure sachant que l'amplitude de l'intervalle sera ici de \(a+1-a=1\).
Bonne continuation
Bonjour,
ta fonction \(x\mapsto \dfrac{1}{\cos^2(x)}\) n'est pas monotone sur les intervalles où elle est définie.
[attachment=0]inverse_cos_carre.ggb[/attachment]
D'ailleurs, la fonction tangente n'étant pas définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier, tu devrais avoir des restrictions sur les intervalles \([a\,;\,b]\) sur lesquels tu vas appliquer l'inégalité des accroissements finis. Que te dit-on sur les réels \(a\) et \(b\) pour cette question ?
Pour la deuxième, tu appliques l'inégalité des accroissements finis à la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) sur l'intervalle \([a\,;\,a+1]\), avec \(a>0\).
La dérivée de cette fonction est \(x\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) qui est strictement décroissante sur \([a\,;\,a+1]\) donc pour tout réel \(x\) de cet intervalle \(\dfrac{1}{2\sqrt{a+1}}<f'(x)<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Je te laisse conclure sachant que l'amplitude de l'intervalle sera ici de \(a+1-a=1\).
Bonne continuation