Bonjour à tous!
J'ai un exercice à rendre sur les congruences modulaires, où je dois prouver l'irrationalité de 3 par l'absurde avec un tableau de congruence modulo 5.
Voici le tableau:
Il m'est demandé d'utiliser les deux dernières lignes pour montrer cette irrationalité de 3 par l'absurde
J'ai donc effectué ce raisonnement:
on suppose que sqrt(3) est rationnel donc \(\sqrt(3)=a/b\)
\(3=a^2/b^2\)
\(3b^2=a^2\)
On sait que \(3b^2=a^2\) donc \(3b^2\equiv a^2 mod(5)\)
Or, \(3\equiv 3 mod(5)\) donc 3b^2\equiv 3 mod(5)
et par transitivité: \(a^2\equiv 3 mod(5)\)
On cherche donc dans le tableau de congruence un nombre x tel que: \(3x^2\equiv 3 mod(5)\) et \(x^2\equiv 3 mod(5)\)
Il n'y en a pas donc sqrt(3) est irrationel.
Est-ce correct? Car j'ai l'impression de survoler quelque chose...
Merci d'avance pour vos réponses!