Bonjour Billy
Tes remarques, questions me laissent à penser que tu as bien avancé dans cette démonstration.
Je vais partir du plus simple...
Aussi, je n'ai pas compris la phrase dans la démo de ma pièce jointe qui dit que "réciproquement y0 = -b/a, est solution car ay0+b = -b+b=0=y'0"...
Solution de quoi...?
Le "réciproquement" est à mettre à part, ici il permet d'identifier que l'on entre dans la démonstration de la nouvelle implication :
si \(y(x)\) est solution de \(y′=ay+b \) alors \( y(x)=ke^{ax}−ba\)
Le premier point est de trouver une solution particulière à l'équation globale : \(y′=ay+b\). Cette solution particulière est trouvée à partir d'une fonction constante dont la dérivée est nulle. Ainsi on a \(0=ay_0 +b\) d'où la solution \(y_0=\frac{-b}{a}\).
J'ai du mal à comprendre et à voir, à quel moment, dans mon fichier, nous avons fait appel à une équation homogène. Est ce qu'elle apparait à la ligne "par soustraction terme à terme... (y-y0)' = ... a(y-y0)" ? Nous avons une forme dérivée = constante*fonction
C'est exactement ça, l'équation homogène est
forme dérivée = constante*fonction
Vous avez déjà vu ce cas et montré que les solutions sont les fonctions de la forme \(ke^{ax}\).
Dans le système, par soustractions membre à membre, tu obtiens \((y-y_0)'=a(y-y_0)\), c'est à dire
forme dérivée = constante*fonction
Ainsi tu peux en déduire que les solutions de l'équation sont de la forme \(y-y_0=ke^{ax} \iff y-\frac{-b}{a}=ke^{ax} \iff y=ke^{ax} -\frac{b}{a}\).
Bonne continuation.