par sos-math(21) » jeu. 11 févr. 2021 17:41
Bonjour,
à la question précédente, on te demande de montrer que \(1-v_{n+1}= \left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)(1-v_n)\).
Comme ta fonction \(f\) est à valeurs strictement positives, ta suite \(v_n\) est strictement positive (en toute rigueur, il faudrait le prouver par récurrence).
Ainsi \(\dfrac{2}{4+v_n}\leqslant \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\) et on a \(1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}(1-v_n)\).
Donc quand tu fais ta démonstration par récurrence, l'initialisation ne pose pas de problème.
Pour l'hérédité : on se place à un rang \(n\) quelconque et on suppose que la propriété \(\mathcal{P}_n\,:\,0\leqslant 1-v_n\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
Ensuite, on reprend l'égalité vue à la question précédente : la relation \(1-v_{n+1}=\left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)(1-v_n)\) assure que \(1-v_{n+1}\geqslant 0\) (première partie de l'encadrement) et l'inégalité que l'on a obtenue permet d'avoir la deuxième partie de l'encadrement :
\(0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\underbrace{(1-v_n)}_{\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{hyp. recur.}}\)
Finalement, on a :
\(0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) soit \(0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\)
ce qui prouve bien \(\mathcal{P}_{n+1}\) et assure l'hérédité.
Il reste ensuite à conclure : par récurrence, on a bien \(\mathcal{P}_n\) vraie pour tout entier naturel \(n\).
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
à la question précédente, on te demande de montrer que \(1-v_{n+1}= \left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)(1-v_n)\).
Comme ta fonction \(f\) est à valeurs strictement positives, ta suite \(v_n\) est strictement positive (en toute rigueur, il faudrait le prouver par récurrence).
Ainsi \(\dfrac{2}{4+v_n}\leqslant \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\) et on a \(1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}(1-v_n)\).
Donc quand tu fais ta démonstration par récurrence, l'initialisation ne pose pas de problème.
Pour l'hérédité : on se place à un rang \(n\) quelconque et on suppose que la propriété \(\mathcal{P}_n\,:\,0\leqslant 1-v_n\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
Ensuite, on reprend l'égalité vue à la question précédente : la relation \(1-v_{n+1}=\left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)(1-v_n)\) assure que \(1-v_{n+1}\geqslant 0\) (première partie de l'encadrement) et l'inégalité que l'on a obtenue permet d'avoir la deuxième partie de l'encadrement :
\(0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\underbrace{(1-v_n)}_{\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{hyp. recur.}}\)
Finalement, on a :
\(0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) soit \(0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\)
ce qui prouve bien \(\mathcal{P}_{n+1}\) et assure l'hérédité.
Il reste ensuite à conclure : par récurrence, on a bien \(\mathcal{P}_n\) vraie pour tout entier naturel \(n\).
Est-ce plus clair ?