par sos-math(21) » dim. 8 nov. 2020 08:26
Bonjour,
pour la 4, une application est injective quand tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent, c'est-à-dire que si \(f(x)=f(y)\) alors \(x=y\) ou encore que deux éléments distincts ont des images distinctes.
Pour montrer que \(g\) n'est pas injective, il suffit de trouver deux éléments distincts qui ont même image : essaie de calculer \(g(1,2,3)\) et \(g(2,1,3)\).
Pour la surjection, c'est un peu plus délicat. On part d'un couple \((a, b)\) et on cherche \((x,y,z)\) tels que \(g(x,y,z)=(a,b)\) cela signifie que
\(\left\lbrace\begin{array}{l}x+y+z=a\\x+y=b\end{array}\right.\) donc on a en remplaçant dans la première équation \(b+z=a\) donc \(z=a-b\).
Ensuite la condition \(x+y=b\) s'écrit \(y=b-x\) donc si on choisit \((a,b-a,a-b)\) (il n'y a pas qu'une seule solution, l'important est de trouver des triplets qui fonctionnent), on a bien \(g(a,b-a,a-b)=(a,b)\) donc \(g\) est surjective.
Bonne continuation
Bonjour,
pour la 4, une application est injective quand tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent, c'est-à-dire que si \(f(x)=f(y)\) alors \(x=y\) ou encore que deux éléments distincts ont des images distinctes.
Pour montrer que \(g\) n'est pas injective, il suffit de trouver deux éléments distincts qui ont même image : essaie de calculer \(g(1,2,3)\) et \(g(2,1,3)\).
Pour la surjection, c'est un peu plus délicat. On part d'un couple \((a, b)\) et on cherche \((x,y,z)\) tels que \(g(x,y,z)=(a,b)\) cela signifie que
\(\left\lbrace\begin{array}{l}x+y+z=a\\x+y=b\end{array}\right.\) donc on a en remplaçant dans la première équation \(b+z=a\) donc \(z=a-b\).
Ensuite la condition \(x+y=b\) s'écrit \(y=b-x\) donc si on choisit \((a,b-a,a-b)\) (il n'y a pas qu'une seule solution, l'important est de trouver des triplets qui fonctionnent), on a bien \(g(a,b-a,a-b)=(a,b)\) donc \(g\) est surjective.
Bonne continuation