par sos-math(21) » mer. 8 juil. 2020 21:05
Bonjour,
dans ton exemple, il s'agit de calculer l'intégrale par la méthode des rectangles, c'est-à-dire avec des sommes de Riemann.
Il faut donc considérer une subdivision régulière de l'intervalle \([2\,;\,4]\) : je te propose de considérer la subdivision \(x_i=a+i\dfrac{b-a}{n}= 2+\dfrac{2i}{n}\), qui aura pour pas le nombre \(h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{2}{n}\)
On est alors amené à calculer la somme en utilisant la formule consacrée :
\(\displaystyle S_n=\dfrac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)=\dfrac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(3\left(2+\dfrac{2i}{n}\right)^2-2\right)=\dfrac{6}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{2i}{n}\right)^2-4=\dfrac{6}{n}\left(\sum_{i=1}^n 4+\dfrac{8i}{n}+\dfrac{4i^2}{n^2}\right)-4\).
Ce qui donne en développant :
\(\displaystyle S_n=24+\dfrac{48}{n^2}\sum_{i=1}^n i+\dfrac{24}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 -4\)
Je te laisse trouver sur le web la formule donnant la somme des \(n\) premiers entiers (\( \displaystyle \sum_{i=1}^n i\)) et la somme des \(n\) premiers carrés d'entiers (\( \displaystyle \sum_{i=1}^n i^2\)) afin que tu aies une expression qui ne dépende que de \(n\), dans laquelle tu passeras à la limite.
On doit bien retrouver 52 normalement.
Bonne continuation
Bonjour,
dans ton exemple, il s'agit de calculer l'intégrale par la méthode des rectangles, c'est-à-dire avec des sommes de Riemann.
Il faut donc considérer une subdivision régulière de l'intervalle \([2\,;\,4]\) : je te propose de considérer la subdivision \(x_i=a+i\dfrac{b-a}{n}= 2+\dfrac{2i}{n}\), qui aura pour pas le nombre \(h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{2}{n}\)
On est alors amené à calculer la somme en utilisant la formule consacrée :
\(\displaystyle S_n=\dfrac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)=\dfrac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(3\left(2+\dfrac{2i}{n}\right)^2-2\right)=\dfrac{6}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{2i}{n}\right)^2-4=\dfrac{6}{n}\left(\sum_{i=1}^n 4+\dfrac{8i}{n}+\dfrac{4i^2}{n^2}\right)-4\).
Ce qui donne en développant :
\(\displaystyle S_n=24+\dfrac{48}{n^2}\sum_{i=1}^n i+\dfrac{24}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 -4\)
Je te laisse trouver sur le web la formule donnant la somme des \(n\) premiers entiers (\( \displaystyle \sum_{i=1}^n i\)) et la somme des \(n\) premiers carrés d'entiers (\( \displaystyle \sum_{i=1}^n i^2\)) afin que tu aies une expression qui ne dépende que de \(n\), dans laquelle tu passeras à la limite.
On doit bien retrouver 52 normalement.
Bonne continuation