par sos-math(21) » dim. 14 juin 2020 13:01
Bonjour,
une densité de probabilité d'une variable aléatoire s'appuie sur les valeurs de cette variable.
Si \(U\) est une variable aléatoire à valeurs réelles, de densité \(f\), on a \(\displaystyle P(U\in[a,b])=\int_a^bf(t)dt\) donc si U et V sont à valeurs positives, la fonction de densité étant nulle sur les valeurs négatives, on peut se contenter d'intégrer sur réels positifs.
D'après la formule, \(\displaystyle f_W(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_U(w-t)f_V(t)dt\) et ce que l'on vient de dire, on peut intégrer sur les réels positifs, car \(f_V(t)=0\) si \(t<0\). On aura donc \(\displaystyle f_W(w)=\int_{0}^{+\infty}f_U(w-t)f_V(t)dt\).
De plus pour que le produit sous l'intégrale soit non nul, il faut que \(f_U(w-t)\) soit non nul, ce qui arrive seulement si \(w-t\geqslant 0\) soit lorsque \(t\leqslant w\) donc on a bien l'intégrale sur le segment \([0\,;\,w]\).
Bonne continuation
Bonjour,
une densité de probabilité d'une variable aléatoire s'appuie sur les valeurs de cette variable.
Si \(U\) est une variable aléatoire à valeurs réelles, de densité \(f\), on a \(\displaystyle P(U\in[a,b])=\int_a^bf(t)dt\) donc si U et V sont à valeurs positives, la fonction de densité étant nulle sur les valeurs négatives, on peut se contenter d'intégrer sur réels positifs.
D'après la formule, \(\displaystyle f_W(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_U(w-t)f_V(t)dt\) et ce que l'on vient de dire, on peut intégrer sur les réels positifs, car \(f_V(t)=0\) si \(t<0\). On aura donc \(\displaystyle f_W(w)=\int_{0}^{+\infty}f_U(w-t)f_V(t)dt\).
De plus pour que le produit sous l'intégrale soit non nul, il faut que \(f_U(w-t)\) soit non nul, ce qui arrive seulement si \(w-t\geqslant 0\) soit lorsque \(t\leqslant w\) donc on a bien l'intégrale sur le segment \([0\,;\,w]\).
Bonne continuation