par sos-math(21) » lun. 1 juin 2020 21:34
Bonjour,
la division euclidienne d'un entier \(p\) par 2010 assure qu'il existe \((q,r)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}\) tels que \(p=2010q+r\).
Comme \(14\equiv 0\,[14]\), on a bien \(14^{2010}\equiv 0 [14]\) (propriété des congruences : pour tout entier non nul \(m\) et \(n\), si \(a\equiv b [n]\), alors \(a^m\equiv b^m \,[n]\))
Comme 14 est solution du système S, on a aussi \(14\equiv 1\,[2011]\) donc \(14^{2010}\equiv 1^{2010}\equiv 1 \, [2011]\) donc en passant à la puissance \(q\), on a bien le système \(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{2010q}&\equiv &0\,[14]\\14^{2010q}&\equiv & 1\,[2011]\end{array}\right.\)
En multipliant par \(14^r\), on a le système suivant
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{2010q}\times 14^r&\equiv &0\times 14^r\,[14]\\14^{2010q}\times 14^r&\equiv & 1\times 14^r\,[2011]\end{array}\right.\) (propriété des congruences : si \(a\equiv b [n]\), alors \(ka\equiv kb \,[n]\))
soit en regroupant :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{2010q+r}&\equiv &0(\equiv 14^r)\,[14]\\14^{2010q+r}&\equiv & 14^r\,[2011]\end{array}\right.\)
soit en reprenant \(p=2010q+r\), on a :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{p}&\equiv &0(\equiv 14^r)\,[14]\\14^{p}&\equiv & 14^r\,\,[2011]\end{array}\right.\)
donc en passant tout à gauche, on a \(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{p}-14^r&\equiv &0\,[14]\\14^{p}-14^r&\equiv & 0\,\,[2011]\end{array}\right.\) donc \(14|14^p-14^r\) et \(2011|14^p-14^r\).
Comme 14 et 2011 sont premiers entre eux, leur produit (qui vaut \(2011\times 14=28\,154\)) divise donc \(14^p-14^r\) donc \(14^p-14^r\equiv 0 \,[28154]\) donc en repassant à droite, on a \(14\equiv 14^r\,[28154]\).
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
la division euclidienne d'un entier \(p\) par 2010 assure qu'il existe \((q,r)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}\) tels que \(p=2010q+r\).
Comme \(14\equiv 0\,[14]\), on a bien \(14^{2010}\equiv 0 [14]\) (propriété des congruences : pour tout entier non nul \(m\) et \(n\), si \(a\equiv b [n]\), alors \(a^m\equiv b^m \,[n]\))
Comme 14 est solution du système S, on a aussi \(14\equiv 1\,[2011]\) donc \(14^{2010}\equiv 1^{2010}\equiv 1 \, [2011]\) donc en passant à la puissance \(q\), on a bien le système \(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{2010q}&\equiv &0\,[14]\\14^{2010q}&\equiv & 1\,[2011]\end{array}\right.\)
En multipliant par \(14^r\), on a le système suivant
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{2010q}\times 14^r&\equiv &0\times 14^r\,[14]\\14^{2010q}\times 14^r&\equiv & 1\times 14^r\,[2011]\end{array}\right.\) (propriété des congruences : si \(a\equiv b [n]\), alors \(ka\equiv kb \,[n]\))
soit en regroupant :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{2010q+r}&\equiv &0(\equiv 14^r)\,[14]\\14^{2010q+r}&\equiv & 14^r\,[2011]\end{array}\right.\)
soit en reprenant \(p=2010q+r\), on a :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{p}&\equiv &0(\equiv 14^r)\,[14]\\14^{p}&\equiv & 14^r\,\,[2011]\end{array}\right.\)
donc en passant tout à gauche, on a \(\left\lbrace\begin{array}{rcl}14^{p}-14^r&\equiv &0\,[14]\\14^{p}-14^r&\equiv & 0\,\,[2011]\end{array}\right.\) donc \(14|14^p-14^r\) et \(2011|14^p-14^r\).
Comme 14 et 2011 sont premiers entre eux, leur produit (qui vaut \(2011\times 14=28\,154\)) divise donc \(14^p-14^r\) donc \(14^p-14^r\equiv 0 \,[28154]\) donc en repassant à droite, on a \(14\equiv 14^r\,[28154]\).
Est-ce plus clair ?