par sos-math(21) » mer. 1 janv. 2020 20:18
Bonjour,
effectivement, si tu veux une preuve rigoureuse d'un point de vue mathématique, il faudra aller chercher des éléments post-bac, comme la notion d'application injective et bijective. Voir exemple :
http://leroy.cpge.free.fr/pdf/bcpst10/c ... atoire.pdf
On sait que le nombre de parties \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\) est égal à \(\binom{n}{k-1}\) : tirage par poignées (simultané).
Si on prend une partie de \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\), ces éléments étant distincts, on peut le réordonner par ordre décroissant, donc cela correspond bien à une suite strictement décroissante de \(k-1\) entiers entre 1 et \(n\). Donc on peut associer de manière bijective à toute partie de \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\) une suite strictement décroissante \(k-1\) entiers entre 1 et \(n\).
Ces deux ensembles étant en bijection, ils ont le même cardinal d'où la réponse.
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
effectivement, si tu veux une preuve rigoureuse d'un point de vue mathématique, il faudra aller chercher des éléments post-bac, comme la notion d'application injective et bijective. Voir exemple : [url]http://leroy.cpge.free.fr/pdf/bcpst10/complement%20combinatoire.pdf[/url]
On sait que le nombre de parties \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\) est égal à \(\binom{n}{k-1}\) : tirage par poignées (simultané).
Si on prend une partie de \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\), ces éléments étant distincts, on peut le réordonner par ordre décroissant, donc cela correspond bien à une suite strictement décroissante de \(k-1\) entiers entre 1 et \(n\). Donc on peut associer de manière bijective à toute partie de \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\) une suite strictement décroissante \(k-1\) entiers entre 1 et \(n\).
Ces deux ensembles étant en bijection, ils ont le même cardinal d'où la réponse.
Est-ce plus clair ?