par sos-math(21) » mer. 16 févr. 2022 20:41
Bonjour,
es-tu en classe de première ou de terminale ?
En terminale, il faudrait utiliser une récurrence, en utilisant la formule de trigonométrie \(1+\cos(a)=2\cos^{2}\left(\dfrac{a}{2}\right)\).
Essaie déjà de voir comment on peut obtenir cette formule à partir de formules de trigonométrie de base, puis essaie de prouver par récurrence la propriété \(P_n\) : pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n}=2\cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)\).
Au rang 0 : c'est bon, simple vérification.
Si tu supposes ta propriété vraie pour un entier naturel \(n\), alors sachant que \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\), on a \(u_{n+1}^2=2+u_n\).
En utilisant la propriété de récurrence, tu as \(u_{n+1}^2=2+2\cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)=2\left(1+\cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)\right)\)
Et tu pourras appliquer la formule de trigonométrie juste au-dessus.
Cela devrait être plus aisé de conclure.
Bonne rédaction
Bonjour,
es-tu en classe de première ou de terminale ?
En terminale, il faudrait utiliser une récurrence, en utilisant la formule de trigonométrie \(1+\cos(a)=2\cos^{2}\left(\dfrac{a}{2}\right)\).
Essaie déjà de voir comment on peut obtenir cette formule à partir de formules de trigonométrie de base, puis essaie de prouver par récurrence la propriété \(P_n\) : pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n}=2\cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)\).
Au rang 0 : c'est bon, simple vérification.
Si tu supposes ta propriété vraie pour un entier naturel \(n\), alors sachant que \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\), on a \(u_{n+1}^2=2+u_n\).
En utilisant la propriété de récurrence, tu as \(u_{n+1}^2=2+2\cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)=2\left(1+\cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)\right)\)
Et tu pourras appliquer la formule de trigonométrie juste au-dessus.
Cela devrait être plus aisé de conclure.
Bonne rédaction