donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par SoS-Math(9) » dim. 17 juin 2018 09:46

Bonjour Yann,

Les deux méthodes sont justes !

SoSMath.

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par yann » sam. 16 juin 2018 19:10

oui, mais ça, j'ai compris

ma question: c'est pour passer de \(-0,5 < \leqslant x \leqslant0\)
à
\(0\leqslant x² < 0,25\)

est ce que c'est parce que :

1) pour \(x \in [-0,5;0]\) la fonction est décroissante sur cet intervalle alors l'ordre des inégalités est changé.

ou bien

2) sur l'intervalle \(-0,5 \leqslant x \leqslant 0\) et bien justement, j'ai deux nombres négatifs et je change l'ordre parce que : Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire.


-

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par SoS-Math(9) » sam. 16 juin 2018 18:20

Bonjour Yann,

Il faut étudier les deux cas :
-0,5 < x \(\leq\) 0 donne 0 \(\leq\) x² < 0,25

et 0 \(\leq\) x < 3 donne 0 \(\leq\) x² < 9

Donc pour -0,5 < x < 3 on obtient 0 \(\leq\) x² < 9.

SoSmath.

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par yann » sam. 16 juin 2018 14:33

Bonjour
`
de cette démonstration, on a déduit :

-Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire
Si \(a < b \leqslant 0\) alors \(a² > b²\)

- Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
Si \(0 \leqslant a < b\) alors \(a² < b²\)


Pour la question 1) ou il faut déterminer un encadrement de x sachant que -0,5 < x < 3

est ce que je dois dire :

pour \(-0,5 < x \leqslant0\) la fonction est décroissante alors l'ordre des inégalités est changé quand on élève au carré
c'est à dire : -0,5 < x < 0 <=> 0 < x² < 0,25

ou bien

est ce que je passe de : \(-0,5 < x \leqslant0\) à \(0,25 > x² > 0\) parce que je reconnais deux nombres négatifs ????


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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par SoS-Math(9) » sam. 16 juin 2018 13:17

Bonjour Yann,

ta rédaction est très bonne.

SoSMath.

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par yann » ven. 15 juin 2018 14:23

je sais pas si vous êtes là, cet après-midi
mais j'aimerais savoir ce que vous pensez de la rédaction, du raisonnement
j'ai aussi besoin de conseils pour ce travail de rigueur et de méthode qui est important pour la suite ...

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par yann » ven. 15 juin 2018 14:19

Bonjour sos math (30)

Ce n'est pas une erreur de recopiage, plutôt une erreur d'analyse.
J'ai refait cette exercice sans le corrigé afin de mieux maîtriser cette démonstration.
Je la reprends :

si \(a < b \leqslant 0\)

alors a < 0 et \(b \leqslant 0\) ( \(a\) et \(b\) sont pris dans le même intervalle)

Par conséquent : \(a < 0\) et \(b < 0\) donc \(a+b < 0\)


signe de \((a-b)\)
je trouve la réponse avec l'énoncé : \(a < b \leqslant 0\)
là, je n'ai besoin que de la partie \(a<b\) pour trouver le signe demandé.....

Si je soustrais à \(a\), n'importe quel nombre qui lui est supérieur alors le résultat est négatif, d'accord ?
Ainsi \(a < b \Leftrightarrow a - b < 0\)

J'en déduis le signe de \((a+b)(a-b)\) > 0 et je le met en gras et en rouge car le produit de deux nombres positifs est positif.

maintenant que je connais le signe de \((a+b)(a-b)\), j'en déduis le signe de \(f(a) - f(b) > 0\)

Sachant que je suis parti de \(a < b\) et que \(f(a) > f(b)\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty;0]\).

-

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par SoS-Math(30) » ven. 15 juin 2018 11:04

Bonjour Yann,

Il y a quelques petites erreurs de recopiage probablement dont celle-ci
yann a écrit : \(a < b \leqslant 0\) <=> a+b < 0 et a<b <=> a-b < 0 . Donc \((a+b)(a-b) < 0\). Ainsi \(f(a) - f(b) > 0\).
Si \(a < b \leqslant 0\) alors a + b < 0 et a - b < 0. Donc (a+b)(a-b) > 0. Ainsi \(f(a) - f(b) > 0\).

Le but de cette démonstration est de justifier que la fonction carrée est strictement décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) et strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
Autrement dit, la fonction carré change l'ordre des inégalités dont les membres sont négatifs. Elle conserve l'ordre des inégalités dont les membres sont positifs.

Ce résultat t'a effectivement servi dans ton exercice.

SoSMath

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par yann » mer. 13 juin 2018 16:22

Quel est le but de cette démonstration ?

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par yann » mer. 13 juin 2018 16:10

Bonjour,

Pour les variations de la fonction carré x²
Nous avons vu cette démonstration :

Soient a et b deux réels et f la fonction carré définie pour tout x par f(x) = x².

\(f(a) - f(b) = a² - b² = (a+b)(a-b)\).

Si \(a < b \leqslant 0\) :

\(a < b \leqslant 0\) <=> a+b < 0 et a<b <=> a-b < 0 . Donc \((a+b)(a-b) < 0\). Ainsi \(f(a) - f(b) > 0\).
Sachant que je suis parti de \(a < b\), je peux maintenant répondre à la question :
Quel que soit \(a \in ]-\infty.O]\) et quel que soit \(b \in ]-\infty.0]\), f est-elle croissante ou décroissante ?

Si \(0<a\leqslant b\) :

\(0 \leqslant a < b\) <=> a+b>0 et a<b <=> a-b <0 .Donc \((a+b)(a-b)<0\) ainsi \(f(a)-f(b)<0\).
Sachant que je suis parti de \(a < b\), je peux maintenant répondre à la question :

Quel que soit \(a \in [0;+\infty[\) et quel que soit \(b\in [0; +\infty[\), f est-elle croissante ou décroissante ?

-----------------------------------------------------------------------------------
conclusion : si \(a \leqslant b \leqslant 0\) alors \(a²>b²\).

- Deux nombres négatifs et leurs carré sont rangés dans l'ordre contraire.

si \(0 \leqslant a < b\)alors \(a²\leqslant b²\) .

- Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
-----------------------------------------------------------------------------------

pour la question 1) de l'exercice : ce sont bien ces 2 propriétés qui me permettent de donner un encadrement de x² pour [-0,5.0]
c'est ce que j'ai compris, est-ce que c'est bien ça ?


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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par SoS-Math(31) » mer. 6 juin 2018 19:08

Bonsoir,
Oui, dans la question 2) b) l'idée est d'utiliser (x - 2)² - 4
Comme - 0,5 \(\leq x\leq 3\) Vérifie que - 2,5 \(\leq x-2\leq 1\).
Quel est alors l'encadrement de (x - 2)² puis de (x - 2)² - 4?

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par yann » mer. 6 juin 2018 15:17

Bonjour

à la question 1 pour trouver un encadrement de x² - 4x, j'ai additionner l'encadrement d'une parabole \(y = x²\) et l'encadrement d'une droite \(y = -4x\)
ainsi, j'ai trouver \(-12\leqslant x²-4x\leqslant12\).

ce que je ne comprends pas, c'est que x² - 4x est l'équation d'une parabole et on arrive à trouver un encadrement pour \(-0.5\leqslant x\leqslant3\) en additionner une parabole et une droite.

Pouvez-vous m'expliquer ? s'il vous plait

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par SoS-Math(34) » dim. 20 mai 2018 23:26

Bonsoir,

L'expression (x-2)²-4, dite forme canonique, permet de construire le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle [-0.5;3].
Il suffira alors de calculer les images pour en déduire le minimum et le maximum de la fonction sur cet intervalle.
Cela te donnera un encadrement plus fin (ou précis), que le précédent.

Bonne recherche
Sosmaths

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par yann » sam. 19 mai 2018 16:11

Bonjour

j'ai essayé cette méthode pour obtenir un nouvel encadrement, je propose ça :

Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur R par \(f(x) = ax² + bx + c\) peut s' écrire sous la forme \(f(x) = (x - \alpha)² + \beta\)

Soit \(f\) une fonction polynôme de degré 2 définie dans R par \(f(x) = ax² + bx + c\) alors pour tout \(x\) , \(f(x) = (x - \alpha)² + \beta\)
avec \(\alpha=\frac{-b}{2a}\)

f(x) n'est pas monotone sur R entier: f(x) est monotone sur R- puisqu'elle est décroissante et f(x) est monotone sur R+ avec pour condition a > 0 (parabole tournée vers le haut)

je prends deux réels \(x_{1}\) et \(x_{2}\) tel que \(x_{1} < x_{2}\)
Le but est de comparer \(f(x_{1})\) et \(f(x_{2})\)

mon idée est de partir de l'expression \(f(x) = (x-\alpha)^{2} + \beta\)




je caclule l'image de \(x_{2}\)et j'obtiens\(f(x_{2}) = (x_{2} - \alpha)² + \beta\) et pareil pour \(x_{1}\) là, je vais avoir \(f(x_{1}) = (x_{1} - \alpha)² + \beta\)

\(f(x_{2}) - f(x_{1})\)= \(\left(x_{2} - \alpha\right)² + \beta - \left[(x_{1} - \alpha)²) + \beta\right]\)

\(f(x_{2}) -f(x_{1})\) = \(\left(x_{2} - \alpha\right)²+\beta\) - \(\left(x_{1} - \alpha\right)² - \beta\)

\(f(x_{2}-f(x_{1})\) = \(\left(x_{2} -\alpha\right)²\) - \(\left(x_{1} - \alpha\right)²\)

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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

par yann » ven. 18 mai 2018 22:09

Dois-je partir de la forme canonique\(\left(x - \alpha\right)²\) + \(\beta\) ?
L'idée est-elle d'utiliser l'expression f(x) = \(\left(x - 2\right)²\) - 4 ?

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