Bonjour,
je te propose de démontrer par récurrence la propriété : $\mathcal{P}_n\,: \, u_{n+1}>0\kern0.5cm \text{et}\kern0.5cm u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
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[*] initialisation : je te laisse vérifier que $\mathcal{P}_0$ est vraie
[*] hérédité : on suppose que pour un certain rang $n\in\mathbb{N}$, $\mathcal{P_n}$ est vraie.
On considère ensuite $u_{n+1}^2=\left(\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}\right)^2=\dfrac{u_n^2}{u_n^2+1}$. On utilise alors la propriété $\mathcal{P}_n$ donnant l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. Je te laisse remplacer $u_n$ par cette expression dans celle de $u_{n+1}^2$ puis terminer le calcul en prenant la racine carrée (possible car on sait par hypothèse de récurrence que $u_{n+1}>0$). On devrait retrouver l'expression de $u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$. Il restera ensuite à prouver que $u_{n+2}>0$ puis à conclure par le principe de récurrence.
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Je te laisse travailler.
Bonne continuation

Bonjour, je n'arrive pas à demontrer ceci