raisonnement par récurrence

par **Kévin** » lun. 13 sept. 2021 07:35

D'accord j'ai compris merci.

par **sos-math(21)** » lun. 13 sept. 2021 05:46

Bonjour,
Si tu développes et réduit ton expression, tu obtiens k^2-2k-1 et on reconnaît le début du développement du carré d’une somme et on peut donc écrire (k-1)^2-2, avec k>=4 cette expression est positive.
Bonne continuation

par **Kévin** » dim. 12 sept. 2021 12:25

A partir d'où fait on le regroupement astucieux de termes?

par **sos-math(21)** » dim. 12 sept. 2021 12:21

Bonjour,
montrer une inégalité en étudiant le signe de la différence entre les deux membres est une méthode robuste et polyvalente.
En effet, le fait de tout ramener dans un même membre permet de factoriser ou de regrouper différemment, ce qui facilite l'étude du signe.
Il y a sûrement d'autres méthodes mais je n'en vois pas au moment où j'écris ces lignes. Pour étudier le signe de cette différence:
on peut étudier le signe du polynôme 2x^2-(x+1)^2 avec le discriminant.
on peut étudier la fonction f(x)=2x^2-(x+1)^2 (dérivée sens de variation et intervalle des images à partir de

$x=4$ .
on peut aussi faire un regroupement astucieux des termes.
Bonne continuation

par **Kévin** » dim. 12 sept. 2021 12:10

Oui je n'arrivais effectivement pas a les lire. Je comprend le début du raisonnement mais y'a t' il un autre moyen de montrer que 2k^2=(k+1)^2?

par **sos-math(21)** » dim. 12 sept. 2021 11:34

Bonjour,
qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Arrives tu à lire les formules mathématiques ?
Je crois qu'elles ne passent pas actuellement ce qui rend mon message bien abscons, en effet.
Je reprends la fin en notant ^pour puissance :
si on suppose pour l'hérédité qu'à un certain rang k>= 4, on a 2^k>= k^2 (hypothèse de récurrence), alors en multipliant tout par 2, on a
2* 2^k>= 2k^2 soit 2^(k+1) >= 2k^2.
Il reste ensuite à prouver que 2k^2 >= (k+1)^2\).
Une manière de le prouver est de former la différence 2k^2-(k+1)^2 et de prouver que cette différence est positive.
Bonne continuation

par **Kévin** » dim. 12 sept. 2021 11:26

Bonjour excusez moi mais je n'arrive pas à comprendre votre message

par **sos-math(21)** » dim. 12 sept. 2021 11:15

Bonjour,
pour l"hérédité, comme l'a dit mon collègue, il faut d'abord faire le lien entre

$2^k$ et

$2^{k+1}$ . L'exposant d'une puissance compte le nombre de facteurs du même nombre que l'on multiplie entre eux. donc

$2^k=\underbrace{2\times 2\times \ldots\times 2}_{k\,\text{facteurs}}$
et

$2^{k+1}=\underbrace{2\times 2\times \ldots\times 2}_{k+1\,\text{facteurs}}$ donc on a bien

$2^{k+1}=2^k\times 2$ donc si on suppose pour l'hérédité qu'à un certain rang

$k\geqslant 4$ , on a

$2^k\geqslant k^2$ (hypothèse de récurrence), alors en multipliant tout par 2, on a

$2\times 2^{k}\geqslant 2k^2$ soit

$2^{k+1}\geqslant 2k^2$ .
Il reste ensuite à prouver que

$2k^2\geqslant (k+1)^2$ .
Une manière de le prouver est de former la différence

$2k^2-(k+1)^2$ et de prouver que cette différence est positive.
Je te laisse étudier le signe de cette expression pour

$k\geqslant 4$ .
Bonne continuation

par **Kévin** » dim. 12 sept. 2021 11:05

Bonjour je comprend a peut prêt mais je n'arrive pas à continuer de développer.

par **SoS-Math(31)** » dim. 12 sept. 2021 10:31

Bonjour Kelvin,
Oui, tu as très bien commencé.
Maintenant, il faut remarquer que 2¨(k+1) = 2^k multiplier par 2.
Alors 2^k > k² par hypothèse de récurrence donc 2^k * 2 > k² * 2
Essayes et recontactes nous si tu bloques encore.

par **Kévin** » sam. 11 sept. 2021 21:13

Bonjour je dois réaliser ce raisonnement par récurrence je crois avoir réussi l'initialisation mais je ne comprends toujours pas comment prouvez l’hérédité. Pourriez vous m'aidez? merci d'avance.

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