Bonjour,
l'égalité \(f'(x)=f(\pi-x)\) montre que \(f'\) est dérivable car elle est égale à une composée de deux fonctions dérivables : \(f=goh\) ou \(h(x)=\pi-x\) et \(g(x)=f(x)\), toutes deux dérivables.
On peut donc dériver une deuxième fois cette égalité. Par composition, on sait que \(\left(goh)\right)'=h'\times g'oh\) donc, sachant que \(h'(x)=-1\), on a \(\left(f(\pi-x)\right)'(x)=-1\times f'(\pi-x)=-f(\pi-(\pi-x))=f(\pi-\pi+x)=f(x)\).
Ainsi \(f''(x)=-f(x)\)
Cette équation différentielle linéaire du second ordre, homogène, à coefficients constants de la forme \(y''+y=0\) devrait être plus facile à résoudre. Tu devrais trouver comme solutions générales les fonctions de la forme \(f(x)=a\cos(x+\varphi)\), avec \(a,\varphi\in \mathbb{R}\)
Il te restera ensuite à trouver parmi les solutions obtenues celles qui vérifient la relation initiale. Tu obtiendras alors la forme finale, avec une condition sur les valeurs de \(\varphi\).
Bon calcul

Bonsoir, je me permets de vous écrire car je bloque sur une question... est ce possible de m'aider s'il vous plaît ?

Déterminer les fonctions f dérivables sur R telles que pour tout x appartenant à R f'(x)=f(pi-x)

merci beaucoup !