Bonjour,
tel qu'il est écrit, ton système a une solution (0,0).
Pour compléter une famille libre de deux vecteurs en une famille libre de 3 vecteurs, le théorème de la base incomplète assure que tu peux compléter ta famille libre en une base de \(\mathbb{R}^3\) à l'aide de vecteurs d'une famille génératrice de \(\mathbb{R}^3\), par exemple la base canonique.
Donc avec le vecteur \(\begin{pmatrix}1 \\0\\0\end{pmatrix}\), cela formera une famille libre,
je te laisse vérifier que le système \(\left\lbrace\begin{array}{l}a\times(-1)+b\times(-2)+c=0\\a\times 2+b\times 3+c\times 0=0\\a\times 0+b\times (-1)+c\times 0=0\end{array}\right.\) a pour solution (0,0,0) ce qui prouvera bien que la famille est libre.
Bonne continuation

Merci pour votre réponse !

Je vous met ci-joint la photo de mon système :
dans la question 1)b) le système ne peut pas être résolu on est d'accord ?

Pour la question 2), j'ai marqué de vecteur sont coplanaires si w= au+bv et lié veut dire que au+bv+cw=0.

Pour la 1) b) il faut trouver un vecteur w(c;d;e) qui ne peut pas s'écrire sous forme au + bv avec u et v tes vecteurs. Autrement dit, w n'est pas dans le plan vectoriel défini par u et v.
cela veut dire qu'il faut trouver c, d et e pour que le système d'inconnues a et b n'ait pas de solution [tex]\left\{\begin{matrix} -1a-2b=c & \\ 2a+3b=d & \\ 0a-1b=e & \end{matrix}\right.[/tex]
Bonne recherche
sosmaths

Bonsoir Cloé,

Peux-tu envoyer une photo de ton système ?
Cela me permettra de te donner une piste pour le résoudre.

sosmaths

Bonjour merci de votre réponse,

Excusez moi de ne pas avoir donné plus de détails, j'avais beaucoup de devoirs et je n'ai pas eu le temps de détailler.
J'avais commencé par écrire les coordonnés de chaque vecteurs (u, v et w), et j'ai essayé de faire un système d'équation à partir de ça mais je pense que ce n'est pas la bonne piste.

J'ai donc fait ce que vous avez dit, c'est à dire de trouver les 3 équations, et j'ai trouvé le système je pense.

Je ne sais pas comment me lancer pour la 1)b) pour trouver un vecteur w pour que la famille soit libre. J'ai compris qu'il faut que au+bv+cw soit différent de 0.

Merci d'avance

Bonjour Cloé,

Tout d'abord, pour t'aider, nous aurions besoin de savoir ce que tu as déjà écrit/cherché.
Sur ce site, nous ne traitons pas les exercices à votre place et il est plus difficile de répondre de façon pertinente sans savoir ce que vous avez fait.
Je te donne tout de même une piste, en espérant qu'elle te soit utile.
Pour la 1ère question, tu dois trouver des réels a, b et c tels que [tex]a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}[/tex].
utilise pour cela les coordonnées de chaque vecteur.
Dire que cette somme vectorielle est nulle signifie que l'abscisse, l'ordonnée et la cote de [tex]a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w}[/tex] sont égaux à 0.
Par exemple pour l'abscisse, cela donne [tex]a\times (-1)+b\times (-2)+c\times 0=0[/tex] (cette équation te donnera une relation entre a et b)
Trouve les deux autres équations pour l'ordonnée et la cote, tu auras alors un système d'inconnues a, b et c.

bonne recherche
sosmaths

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour l'exercice 2 de mon Dm

je vous le met ci-joint

merci d'avance ^^