par sos-math(21) » mer. 8 juil. 2020 21:21
Bonjour,
pour établir la convergence d'une intégrale généralisée d'une fonction positive, on peut utiliser les propriétés de comparaison avec une intégrale convergente, notamment une qui est très utilisée est celle que l'on appelle l'intégrale de Riemann définie pour \(a>0\) :
\(\displaystyle \int_a^{+\infty}\dfrac{\text{d}t}{t^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha >1\).
Ta fonction est équivalente à \(\dfrac{1}{t^3}\) donc les intégrales impropres sont de même nature, et comme \(\displaystyle \int_2^{+\infty}\dfrac{\text{d}t}{t^{3}}\) converge, ton intégrale converge aussi.
Pour le calcul de sa valeur, il faut repasser par les intégrales sur un segment \([2\,;\,M]\), trouver une primitive en décomposant ta fraction en éléments simples \(\dfrac{1}{x(x+1)(x-1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x-1}\), calculer la valeur de l'intégrale sur le segment \([1\,;\,M]\) puis faire tendre \(M\) vers \(+\infty\).
Bons calculs
Bonjour,
pour établir la convergence d'une intégrale généralisée d'une fonction positive, on peut utiliser les propriétés de comparaison avec une intégrale convergente, notamment une qui est très utilisée est celle que l'on appelle l'intégrale de Riemann définie pour \(a>0\) :
\(\displaystyle \int_a^{+\infty}\dfrac{\text{d}t}{t^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha >1\).
Ta fonction est équivalente à \(\dfrac{1}{t^3}\) donc les intégrales impropres sont de même nature, et comme \(\displaystyle \int_2^{+\infty}\dfrac{\text{d}t}{t^{3}}\) converge, ton intégrale converge aussi.
Pour le calcul de sa valeur, il faut repasser par les intégrales sur un segment \([2\,;\,M]\), trouver une primitive en décomposant ta fraction en éléments simples \(\dfrac{1}{x(x+1)(x-1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x-1}\), calculer la valeur de l'intégrale sur le segment \([1\,;\,M]\) puis faire tendre \(M\) vers \(+\infty\).
Bons calculs
