par sos-math(21) » dim. 24 mai 2020 12:49
Bonjour,
il faut effectivement vérifier la propriété de linéarité mais comme ce sont des fonctions, il faut vérifier l'égalité pour tout réel \(x\) afin de conclure sur l'égalité des fonctions : pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\), pour tous \(F_1,\, F_2\in\mathcal{E}_0\) et pour tous \(x \in\mathbb{R}\) : \(T_n(\lambda F_1+F_2)(x)=\lambda T_n(F_1)(x)+F_2(x)\) donc il faut bien étudier les deux cas : \(x=0\) et \(x\neq 0\).
Pour la deuxième question, parité , il faut calculer pour une fonction \(f\) donnée \(T_n(-f)(x)\) et avec des changements de variables dans l'intégrale \(t=-u\), comparer avec \(T_n(f)(x)\) lorsque \(f\) est paire ou impaire.
Pour la positivité il faut montrer que pour toute fonction \(f\) positive \(T_n(f)\) est positive soit pour tout réel \(x\), \(T_n(f)(x)\geqslant 0\).
Bonne continuation
Bonjour,
il faut effectivement vérifier la propriété de linéarité mais comme ce sont des fonctions, il faut vérifier l'égalité pour tout réel \(x\) afin de conclure sur l'égalité des fonctions : pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\), pour tous \(F_1,\, F_2\in\mathcal{E}_0\) et pour tous [TeX]x \in\mathbb{R}[/TeX] : \(T_n(\lambda F_1+F_2)(x)=\lambda T_n(F_1)(x)+F_2(x)\) donc il faut bien étudier les deux cas : \(x=0\) et \(x\neq 0\).
Pour la deuxième question, parité , il faut calculer pour une fonction \(f\) donnée \(T_n(-f)(x)\) et avec des changements de variables dans l'intégrale \(t=-u\), comparer avec \(T_n(f)(x)\) lorsque \(f\) est paire ou impaire.
Pour la positivité il faut montrer que pour toute fonction \(f\) positive \(T_n(f)\) est positive soit pour tout réel \(x\), \(T_n(f)(x)\geqslant 0\).
Bonne continuation
