par sos-math(21) » mar. 20 nov. 2018 07:53
Bonjour,
Pour la liste de permutations ayant exactement 3 points fixes, je te laisse faire, il faut d'abord fixer les 3 points parmi les 5 ce qui te fait \(\binom{5}{3}\) possibilités puis les deux autres valeurs n'ont pas d'autres choix que d'être inversés pour avoir exactement 3 points fixes donc cela te donne \(\binom{5}{3}\) permutations.
On peut généraliser le problème pour \(n\), si on veut \(n-2\) point fixes, il faut d'abord choisir ces \(n-2\) valeurs parmi \(n\) soit \(\binom{n}{n-2}\) puis échanger les deux valeurs restantes donc il n'y a qu'un choix. Ce qui nous donne \(\binom{n}{n-2}\) qui est aussi égal à \(\binom{n}{2}\)
Pour \(n-3\) c'est le même problème il te restera à 3 valeurs à répartir sans qu'elles retombent sur elles-mêmes pour ne pas créer de point fixe supplémentaire : cela correspond au nombre de dérangements dans un ensemble à 3 éléments : on a donc \(\binom{n}{3}\times 2\).
Pour \(n-k\) points fixes, il faut d'abord choisir les \(n-k\) points fixes parmi les \(n\) donc \(\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}\) possibilités puis il restera à envoyer les \(k\) valeurs restantes sans qu'elles créent de nouveaux points fixes, donc il s'agit de prendre les dérangements d'une liste à \(k\) éléments donc on retrouve bien \(\binom{n}{k}d_k\).
Voilà pour le début
Bonjour,
Pour la liste de permutations ayant exactement 3 points fixes, je te laisse faire, il faut d'abord fixer les 3 points parmi les 5 ce qui te fait \(\binom{5}{3}\) possibilités puis les deux autres valeurs n'ont pas d'autres choix que d'être inversés pour avoir exactement 3 points fixes donc cela te donne \(\binom{5}{3}\) permutations.
On peut généraliser le problème pour \(n\), si on veut \(n-2\) point fixes, il faut d'abord choisir ces \(n-2\) valeurs parmi \(n\) soit \(\binom{n}{n-2}\) puis échanger les deux valeurs restantes donc il n'y a qu'un choix. Ce qui nous donne \(\binom{n}{n-2}\) qui est aussi égal à \(\binom{n}{2}\)
Pour \(n-3\) c'est le même problème il te restera à 3 valeurs à répartir sans qu'elles retombent sur elles-mêmes pour ne pas créer de point fixe supplémentaire : cela correspond au nombre de dérangements dans un ensemble à 3 éléments : on a donc \(\binom{n}{3}\times 2\).
Pour \(n-k\) points fixes, il faut d'abord choisir les \(n-k\) points fixes parmi les \(n\) donc \(\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}\) possibilités puis il restera à envoyer les \(k\) valeurs restantes sans qu'elles créent de nouveaux points fixes, donc il s'agit de prendre les dérangements d'une liste à [tex]k[/tex] éléments donc on retrouve bien \(\binom{n}{k}d_k\).
Voilà pour le début
