par sos-math(21) » mer. 3 janv. 2018 14:27
Bonjour,
tu dois avoir vu dans ton cours une propriété du style \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty\) qui traduit le fait que \(e^x\) est plus "forte" que \(x\) au voisinage de \(+\infty\).
Pour le démontrer, tu pourrais étudier le signe de la différence \(f(x)=e^x-x^2\) . Tu montrerais qu'à partir d'un certain seuil on, a \(f(x)\geqslant 0\) ce qui signifie que \(e^x\geqslant x^2\) soit en divisant par \(x\neq 0\), on aurait : \(\dfrac{e^x}{x}\geqslant x\) donc en passant à la limite tu aurais \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}\geqslant \lim_{x\to+\infty}x\) donc \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty\).
En bref, tu obtiens cette information et en prenant l'inverse du quotient, tu as \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0\).
En \(-\infty\), il n'y a pas de forme indéterminée car \(\lim_{x\to-\infty}e^x=0\) et donc \(\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{e^x}=-\infty\).
Bonne continuation
Bonjour,
tu dois avoir vu dans ton cours une propriété du style \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty\) qui traduit le fait que \(e^x\) est plus "forte" que \(x\) au voisinage de \(+\infty\).
Pour le démontrer, tu pourrais étudier le signe de la différence \(f(x)=e^x-x^2\) . Tu montrerais qu'à partir d'un certain seuil on, a \(f(x)\geqslant 0\) ce qui signifie que \(e^x\geqslant x^2\) soit en divisant par \(x\neq 0\), on aurait : \(\dfrac{e^x}{x}\geqslant x\) donc en passant à la limite tu aurais \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}\geqslant \lim_{x\to+\infty}x\) donc \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty\).
En bref, tu obtiens cette information et en prenant l'inverse du quotient, tu as \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0\).
En \(-\infty\), il n'y a pas de forme indéterminée car \(\lim_{x\to-\infty}e^x=0\) et donc \(\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{e^x}=-\infty\).
Bonne continuation
