par SoS-Math(11) » jeu. 8 mai 2014 07:44
Bonjour Jacques,
Le théorème de l'intégration par partie n'est plus de ton programme, il est basé sur la propriété suivante : \((uv)^,=u^,v+uv^,\) donc en intégrant tu as \(\int_{0}^{1}(uv)^,=\int_0^1u^,v+\int_0^1uv^'\) donc \(\int_0^1u^,v=\int_{0}^{1}(uv)^,-\int_0^1uv^'=[uv]_0^1-\int_0^1uv^'\).
Tu appliques ceci à \(u(x)=x\) et \(v(x)=f(x)\) ce qui te donne \(I_0\).
Ensuite tu sais que \(0\leq f(x) \leq \frac{\pi}{4}\) donc que \(0\leq x^nf(x) \leq \frac{\pi}{4} x^n\) pour \(0\leq x\leq 1\).
Tu en déduis que \(0\leq \int_0^1x^nf(x)dx \leq \int_0^1 \frac{\pi}{4}x^ndx\) comme \(\int_0^1 \frac{\pi}{4}x^ndx= \frac{\pi}{4}\int_0^1x^ndx\) et que \(\frac{\pi}{4}\int_0^1x^ndx= \frac{\pi}{4}\times {[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1= \frac{\pi}{4}\times \frac{1}{n+1}\).
La conclusion est alors évidente.
J'espère t'avoir apporté un petit plus par rapport à la correction donnée.
Bonjour Jacques,
Le théorème de l'intégration par partie n'est plus de ton programme, il est basé sur la propriété suivante : [tex](uv)^,=u^,v+uv^,[/tex] donc en intégrant tu as [tex]\int_{0}^{1}(uv)^,=\int_0^1u^,v+\int_0^1uv^'[/tex] donc [tex]\int_0^1u^,v=\int_{0}^{1}(uv)^,-\int_0^1uv^'=[uv]_0^1-\int_0^1uv^'[/tex].
Tu appliques ceci à [tex]u(x)=x[/tex] et [tex]v(x)=f(x)[/tex] ce qui te donne [tex]I_0[/tex].
Ensuite tu sais que [tex]0\leq f(x) \leq \frac{\pi}{4}[/tex] donc que [tex]0\leq x^nf(x) \leq \frac{\pi}{4} x^n[/tex] pour [tex]0\leq x\leq 1[/tex].
Tu en déduis que [tex]0\leq \int_0^1x^nf(x)dx \leq \int_0^1 \frac{\pi}{4}x^ndx[/tex] comme [tex]\int_0^1 \frac{\pi}{4}x^ndx= \frac{\pi}{4}\int_0^1x^ndx[/tex] et que [tex]\frac{\pi}{4}\int_0^1x^ndx= \frac{\pi}{4}\times {[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1= \frac{\pi}{4}\times \frac{1}{n+1}[/tex].
La conclusion est alors évidente.
J'espère t'avoir apporté un petit plus par rapport à la correction donnée.
