par Maelle. » dim. 19 janv. 2014 11:29
Bonjour à tous ! J'aurais besoin d'un petit coup de main pour un DM de Maths spé basé sur les congruences.
On généralise la méthode de César en introduisant un coefficient multiplicateur :
- Soit une lettre du message clair. On appelle W le nombre qui le symbolise dans le tableau.
-on applique à x la fonction affine x-->ax+b, et on le note y le nombre entier compris entre 0 et 25 tel que : y est congru à ax+b modulo 26
-la lettre symbolisé par y dans le tableau est le codage de la lettre choisi initialement.
(Pour le tableau, on prend A=0,B=1(...)Z=25)
1) Uniquement dans cette question, on pose a=2 et b=23
Coder BOBO et commentez le résultat obtenus.
-D'après ce que j'ai compris, je trouve que BOBO=ZZZZ en faisant pour la lettre B : y est congru à 2*1+23=25 modulo 26
Pour la lettre O: 2*14+23=51modulo21 et 51 est congru à 25modulo26
Soient 4 entiers x,x', y et y' compris entre 0 et 25 et tels que :
-y est congru à ax+b modulo26
Y' est congru à ax'+b modulo26
On souhaite que: "si xx', alors yy'". Cela revient à vouloir que "si y=y' alors x=x'".
Supposons donc y=y'
2) Montrer que 26 divise a(x-x')
3) Montrer que si 2 où 13 divisent a, alors on peut avoir xx'
4) On suppose désormais que 2 et 13 ne sont pas des diviseurs de a.
(a) Montrer que PGCD(a,26)=1
(b) En déduire que x=x'
(c) Montrer qu'il existe un entier a' compris entre 0 et 25 tel que : aa' est congru à 1 modulo26 puis que cet entier a' est unique.
(d) En déduire une fonction affine de décodage, c'est à dire permettant de calculer x à partir de y.
5) Décoder UCNEH, sachant que le mot a été codé abec la fonction affine x-->7x+13
Pour la 2 et la 4b, j'ai réussi, et la 5 je pense pas trouver le bon résultat puisque je trouve DKQFA et je pense plutôt que c'est un mot. On m'a dit que je devais trouver BRAVO mais je ne vois pas comment.Je voudrais juste une petite aide pour départ, je pense que j'arriverai à trouver par moi-même par la suite, mais là je bloque.
Merci pour vos éventuelles réponses !
Bonjour à tous ! J'aurais besoin d'un petit coup de main pour un DM de Maths spé basé sur les congruences.
[quote]On généralise la méthode de César en introduisant un coefficient multiplicateur :
- Soit une lettre du message clair. On appelle W le nombre qui le symbolise dans le tableau.
-on applique à x la fonction affine x-->ax+b, et on le note y le nombre entier compris entre 0 et 25 tel que : y est congru à ax+b modulo 26
-la lettre symbolisé par y dans le tableau est le codage de la lettre choisi initialement.
(Pour le tableau, on prend A=0,B=1(...)Z=25)
1) Uniquement dans cette question, on pose a=2 et b=23
Coder BOBO et commentez le résultat obtenus. [/quote]
-D'après ce que j'ai compris, je trouve que BOBO=ZZZZ en faisant pour la lettre B : y est congru à 2*1+23=25 modulo 26
Pour la lettre O: 2*14+23=51modulo21 et 51 est congru à 25modulo26
[quote]Soient 4 entiers x,x', y et y' compris entre 0 et 25 et tels que :
-y est congru à ax+b modulo26
Y' est congru à ax'+b modulo26
On souhaite que: "si xx', alors yy'". Cela revient à vouloir que "si y=y' alors x=x'".
Supposons donc y=y'
2) Montrer que 26 divise a(x-x')
3) Montrer que si 2 où 13 divisent a, alors on peut avoir xx'
4) On suppose désormais que 2 et 13 ne sont pas des diviseurs de a.
(a) Montrer que PGCD(a,26)=1
(b) En déduire que x=x'
(c) Montrer qu'il existe un entier a' compris entre 0 et 25 tel que : aa' est congru à 1 modulo26 puis que cet entier a' est unique.
(d) En déduire une fonction affine de décodage, c'est à dire permettant de calculer x à partir de y.
5) Décoder UCNEH, sachant que le mot a été codé abec la fonction affine x-->7x+13 [/quote]
Pour la 2 et la 4b, j'ai réussi, et la 5 je pense pas trouver le bon résultat puisque je trouve DKQFA et je pense plutôt que c'est un mot. On m'a dit que je devais trouver BRAVO mais je ne vois pas comment.Je voudrais juste une petite aide pour départ, je pense que j'arriverai à trouver par moi-même par la suite, mais là je bloque.
Merci pour vos éventuelles réponses !
