C'est cela,
Il te faut résoudre \(\varphi'(x)=0\), soit \(e^x-1=0\)...
Bon courage

sos-math(21) a écrit :Bonjour,
Commence par dériver la fonction \(\varphi\), étudie son signe sur l'intervalle considéré et déduis-en le sens de variation.
En utilisant le fait que \(\varphi(0)=0\),
Alors pour tout x<0, la fonction étant décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), on a \(\varphi(x)\geq \varphi(0)\).
On refait le même raisonnement sur les réels positifs et on obtiendra le fait que \(\varphi(x)\geq 0\) ce qui te permettra de conclure pour la 2.
La question 3 se fait en remplaçant \(x\) par \({-x}\) dans l'inégalité.
Commence par faire cela.

La dérivé serait ex-1, ensuite je fais un tableau de signe, j'ai bon ?

Bonjour,
Commence par dériver la fonction \(\varphi\), étudie son signe sur l'intervalle considéré et déduis-en le sens de variation.
En utilisant le fait que \(\varphi(0)=0\),
Alors pour tout x<0, la fonction étant décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), on a \(\varphi(x)\geq \varphi(0)\).
On refait le même raisonnement sur les réels positifs et on obtiendra le fait que \(\varphi(x)\geq 0\) ce qui te permettra de conclure pour la 2.
La question 3 se fait en remplaçant \(x\) par \({-x}\) dans l'inégalité.
Commence par faire cela.

J'ai un devoir maison, j'ai réussi la première partie (partie A) qui était la plus compliquée d'après mes collègues, pourtant je n'arrive pas la partie B :

ex étant exp(x).

1. Soit φ la fonction définie sur R par φ(x)= ex-(1+x). Montrer que φ est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.

2. En déduire que pour tout réél x, 1+x≤ex

3. Déduire de l'égalité précédente que ∀x,ex≤1/1-x

4. Déduire de l'égalité du B.2. que Un≤e

5. Déduire de l'égalité du B.4. que e≤(1+1/n)^n+1
On pose Vn=(1+1/n)^n+1 pour n∈N*. On a donc Un≤e≤Vn pour n∈N*.

6. Démontrer que Vn-Un≤3/n

7. En déduire que 0≤e-Un≤3/n, puis que Un converge vers e.

8.Démontrer que Vn converge également vers n

9.Donner un encadrement de e en calculant Un et Vn pour n=10; n=100; n=1000