par sos-math(21) » dim. 24 févr. 2013 22:47
Bonsoir,
La technique de factorisation est une bonne technique mais elle ne te permet pas de conclureici :
\(x+\sqrt{x^2+1}=x+\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=x-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=x\left(1-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)\)
En effet, le \(x^2\) ressort de la racine carré en valeur absolue, mais comme x est considéré comme négatif, on a \(|x|=-x\)
Le premier facteur \(x\) tend vers \({-}\infty\) quand \(x\) tend vers \({-}\infty\)
Le second facteur \(1-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers \({-}\infty\).
Donc on a une forme indéterminée du type \(0\times\infty\).
Il faut trouver autre chose.
Une technique utile avec les racines carrées est de multiplier en haut et en bas par l'expression conjuguée
\(x+\sqrt{x^2+1}=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{1}=\frac{(x+\sqrt{x^2+1})\times(x-\sqrt{x^2+1})}{x-\sqrt{x^2+1}}\)
Au numérateur, c'est fait exprès, on a une identité remarquable \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), de sorte que les racines carrées disparaissent :
\(x+\sqrt{x^2+1}=\frac{(x+\sqrt{x^2+1})\times(x-\sqrt{x^2+1})}{x-\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^2-(x^2+1)}{x-\sqrt{x^2+1}}=\frac{-1}{x-\sqrt{x^2+1}}\)
Je te laisse le soin de déterminer la limite de cette nouvelle expression lorsque \(x\) tend vers \({-}\infty\)
Bon courage
Bonsoir,
La technique de factorisation est une bonne technique mais elle ne te permet pas de conclureici :
[tex]x+\sqrt{x^2+1}=x+\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=x-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=x\left(1-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)[/tex]
En effet, le [tex]x^2[/tex] ressort de la racine carré en valeur absolue, mais comme x est considéré comme négatif, on a [tex]|x|=-x[/tex]
Le premier facteur [tex]x[/tex] tend vers [tex]{-}\infty[/tex] quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]{-}\infty[/tex]
Le second facteur [tex]1-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}[/tex] tend vers 0 quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]{-}\infty[/tex].
Donc on a une forme indéterminée du type [tex]0\times\infty[/tex].
Il faut trouver autre chose.
Une technique utile avec les racines carrées est de multiplier en haut et en bas par[u] l'expression conjuguée[/u]
[tex]x+\sqrt{x^2+1}=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{1}=\frac{(x+\sqrt{x^2+1})\times(x-\sqrt{x^2+1})}{x-\sqrt{x^2+1}}[/tex]
Au numérateur, c'est fait exprès, on a une identité remarquable [tex](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex], de sorte que les racines carrées disparaissent :
[tex]x+\sqrt{x^2+1}=\frac{(x+\sqrt{x^2+1})\times(x-\sqrt{x^2+1})}{x-\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^2-(x^2+1)}{x-\sqrt{x^2+1}}=\frac{-1}{x-\sqrt{x^2+1}}[/tex]
Je te laisse le soin de déterminer la limite de cette nouvelle expression lorsque [tex]x[/tex] tend vers [tex]{-}\infty[/tex]
Bon courage
